$a)$
$\Delta KBC$ có $KO=OC$ , $BM=MC$ nên $OM$ là đường trung bình của $\Delta KBC$
$\to OM // KB , OM = \dfrac{1}{2} KB$
Ta lại có : $OM//AH ; KB//AH$
Tương tự : $KA//AH$
Tứ giác $AHBK$ có : $KB//AH , KA//BH$ nên là hình bình hành.
$b)$
Ta có :
$AHBK$ là hình bình hành nên $KB=AH$ (cùng $⊥BC$)
Ta có :
$AM= \dfrac{1}{2} KB$ nên $OM= \dfrac{1}{2} AH$