a)
Xét $\Delta MID$ và $\Delta AIB$, ta có:
$\widehat{MID}=\widehat{AIB}$ ( hai góc đối đỉnh )
$\widehat{IMD}=\widehat{IAB}$ ( $AB\,\,||\,\,CD$, hai góc so le trong )
$\to \Delta MID\sim\Delta AIB$
$\to \dfrac{IM}{IA}=\dfrac{MD}{AB}$
Xét $\Delta CKM$ và $\Delta AKB$, ta có:
$\widehat{CKM}=\widehat{AKB}$ ( hai góc đối đỉnh )
$\widehat{KCM}=\widehat{KAB}$ ( $AB\,\,||\,\,CD$, hai góc so le trong )
$\to \Delta CKM\sim\Delta AKB$
$\to \dfrac{KM}{KB}=\dfrac{MC}{AB}$
Ta vừa mới chứng minh được $2$ kết quả như sau:
$\begin{cases}\dfrac{IM}{IA}=\dfrac{MD}{AB}\\\\\dfrac{KM}{KB}=\dfrac{MC}{AB}\end{cases}$
Mà $MD=MC$ ( vì $M$ là trung điểm $CD$ )
Nên $\dfrac{MD}{AB}=\dfrac{MC}{AB}$
Do đó $\dfrac{IM}{IA}=\dfrac{KM}{KB}$
b)
Trong $\Delta AMB$ có tỉ số:
$\dfrac{IM}{IA}=\dfrac{KM}{KB}$ ( cmt )
Nên $IK\,\,||\,\,AB$ ( định lý Ta – let đảo )
Hay $IK\,\,||\,\,AB\,\,||\,\,CD$
c)
$\Delta AMD$ có $IN\,\,||\,\,MD$
$\to \dfrac{AI}{AM}=\dfrac{IN}{MD}$ ( hệ quả của định lý Ta – let )
$\Delta AMC$ có $IK\,\,||\,\,MC$
$\to \dfrac{AI}{AM}=\dfrac{IK}{MC}$ ( hệ quả của định lý Ta – let )
$\to \dfrac{IN}{MD}=\dfrac{IK}{MC}$
Mà $MD=MC$ ( $M$ là trung điểm $CD$ )
Nên $IN=IK$
Hay nói cách khác, $I$ là trung điểm $KN$
