Giải thích các bước giải:
a.Ta có $D,E,F$ là trung điểm $AB,AC,BC$
$\to DE,EF$ là đường trung bình $\Delta ABC$
$\to DE//BC, DE=\dfrac12BC$ và $EF//AB, EF=\dfrac12AB$
$\to DEFB$ là hình bình hành
Mà $\Delta ABC$ đều
$\to AB=CB$
$\to DE=EF$
$\to BDEF$ là hình thoi
b. Ta có $E$ là trung điểm $AC$
$D,M$ đối xứng qua $E\to E$ là trung điểm $DM$
$\to ADCM$ là hình bình hành
Mà $\Delta ABC$ đều, $D$ là trung điểm $AB\to CD\perp AB$
$\to ADCM$ là hình chữ nhật
c.Ta có $D,M$ đối xứng qua $E\to DM=2DE=BC$
Mà $DE//BC\to DM//BC\to DMCB$ là hình bình hành
$|to DM//BD\to DN//BD$
$\to \dfrac{FD}{FN}=\dfrac{FB}{FC}=1$ vì $F$ là trung điểm $BC$
$\to FD=FN$
$\to F$ là trung điểm $DN$
Ta có: $DN//DM\to FC//DM$
Mà $F$ là trung điểm $DN\to FC$ là đường trung bình $\Delta NDM\to C$ là trung điểm $MN$
Lại có $DC\perp MN\to \Delta DMN$ cân tại $D$
Lại có $\widehat{DMC}=\widehat{DAC}=60^o$ vì $ADCM$ là hình chữ nhật
$\to \Delta DMN$ đều
$\to MF\perp DN$ vì $F$ là trung điểm $DN$
$\to\Delta FMN$ vuông
d.Ta có $DMCB$ là hình bình hành
$\to CD\cap BM$ tại trung điểm mỗi đường
Gọi $CD\cap BM=I\to I$ là trung điểm $CD,BM$
Ta có $DE//BC, DE=\dfrac12BC$
Vì $F$ là trung điểm $BC\to DE//CF, DE=CF\to DECF$ là hình bình hành
$\to CD\cap EF$ tại trung điểm mỗi đường
Mà $I$ là trung điểm $CD$
$\to I$ là trung điểm $EF$
Ta có $BDEF$ là hình thoi
$\to FD\perp EB$
Ta có $\Delta ABC$ đều, $E$ là trung điểm $AC\to BE\perp AC$
Mà $MF\perp FN\to MF\perp FD$
$\to PEQF$ là hình chữ nhật
$\to EF\cap PQ$ tại trung điểm mỗi đường
Mà $I $ là trung điểm $EF\to I$ là trung điểm $PQ$
$\to EF,CD, BM, PQ$ đồng quy tại $I$
