Giải thích các bước giải:

Bài 3:

a.Ta có $IM\perp AB, IN\perp AC, AB\perp AC\to AMIN$ là hình chữ nhật

b.Ta có $I,D$ đối xứng qua $N\to N$ là trung điểm $ID$

Mà $IN\perp AC\to AC\perp ID=N\to AC$ là trung trực của $ID$

$\to AI=AD, CI=CD$

Lại có $\Delta ABC$ vuông tại $A,I$ là trung điểm $BC\to IA=IB=IC$

$\to AD=AI=IC=CD$

$\to AICD$ là hình thoi

c.Ta có $IM\perp AB, AB\perp AC\to IM//AC$

Mà $I$ là trung điểm $BC\to M$ là trung điểm $BA$

Tương tự $N$ là trung điểm $AC$

Lại có $BN\cap AI=E\to E$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to \dfrac{IE}{AI}=\dfrac13$

Lại có $AICD$ là hình thoi $\to AI//CD$

$\to\dfrac{IE}{DK}=\dfrac{NI}{ND}=\dfrac{IA}{CD}$

$\to\dfrac{DK}{DC}=\dfrac{IE}{EA}=\dfrac13$

Bài 4:

a.Ta có $M$ là trung điểm $AE\to MA=ME$

   Vì $AH\perp BC, EK\perp BC\to AH//KE$

$\to\dfrac{AH}{KE}=\dfrac{MA}{ME}=1\to AH=KE$

$\to AHEK$ là hình bình hành

b.Ta có $M$ là trung điểm $BC$

            $A,E$ đối xứng qua $M\to M$ là trung điểm $AE$

$\to ABEC$ là hình bình hành

Lại có $\widehat{BAC}=90^o\to ABEC$ là hình chữ nhật

c.Ta có $BC\perp AD=H,HA=HD\to BC$ là trung trực của $AD, H$ là trung điểm $AD\to CD=AC=BE$

Do $H,M$ là trung điểm $AD,AE\to HM$ là đường trung bình$\Delta ADE\to HM//DE$

$\to DE//BC\to DECB$ là hình thang

Vì $BE=CD\to BCED$ là hình thang cân

d.Ta có $DE//BC, AD\perp BC\to AD\perp DE$

$\to\Delta ADE$ vuông tại $D$

Vì $ M$ là trung điểm $AE\to MD=MA=ME=\dfrac12AE=25$

Do $HM$ là đường trung bình $\Delta ADE$ (câu c)

$\to HM=\dfrac12DE=15$

Bài 3

a) Ta có : ^A=^M=^N=90*

=> Tứ giác AMIN là hình chữ nhật

Xét tam giác ACB có :

IB=IC (gt)

IN //AB (IN vuông góc vs CA ; CA vuông góc vs AC ; từ vuông góc đến // )

=> NC =NA (đg tb của tam giác )

b) Xét tứ giác AMIN có :

CA cắt ID tại N

Có : NI=ND (gt)

NC=NA(cmt)

=> AMIN là hbh

mà CA vuông góc vs ID

=> AMIN là hình thoi

c) GỌi P là giao điểm của BN và AI

Vì AICD là hình thoi(cmt)

=>AI//DC

=>^AIN=^CDN (cặp góc sole trong)

Xét ΔINP và ΔDNK có:

^PIN=^KDN(cmt)

IN=DN

^INP=^DNK(đ đ)

=> ΔINP=ΔDNK (g.c.g)

=> IP=DK

Vì AICD là hình thoi (cmt)

=> AI=DC

AN=NC

=>BN là trung tuyến

Xét ΔABC có: AI, BN là đường trung tuyến

mà BN cắt AI tại P

=>P là trọng tâm tam giác

=> IP/AI=1/3

hay DK/DC=1/3

Bài 4

a, Xét hai tam giác vuông AHM và EKM có:

AM = ME   (theo giả thiết)

Góc AMH = góc EMK   (2 góc đối đỉnh)

Suy ra ΔAHM = ΔEKM (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra HM=MK (2 cạnh tương ứng) hay M là trung điểm HK

MA=ME nên M là trung điểm AE

=> Tứ giác AHEK có 2 đường chéo AE và HK cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường nên AHEK là hình bình hành.

Theo a, AHEK là hình bình hành nên AH//EK

Mà D nằm trên AH thỏa mãn AH=HD nên DH//EK

=> Tứ giác DEKH có DH//EK và EK vuông góc với HK nên HKED là hình chữ nhật.

c, HKED là hình chữ nhật nên DE//HK hay DE//BC
=> Suy ra DBCE là hình thang

d, HKED là hình chữ nhật nên HK = DE = 30(cm) ⇒ HM = HK/2 = 15(cm)

Lại có:

`DM^2` + `HM^2` = `DH2` ⇔ `152` + `DM2` = `502`

⇒ `DM=5√91(cm)`