a,
Vì ΔABC cân ở A nên ∠ABC= ∠ACB (*)
Vì M là trung điểm của AB,N là trung điểm của AC ⇒ MN là đường trung bình của ΔABC
⇒ MN // BC (**)
Từ (*) và (**)⇒ BCNM là hình thang cân có đáy MN và BC
b,
Ta có NP cũng là đường trung bình của ΔABC ⇒ ∠ABC= ∠NPC
⇒ ΔNPC cân ở N
⇒ NP= NC
Mà AC= 2NC, PD= 2NP
⇒ AC= PD
Ta thấy: tứ giác APCD có 2 đường chéo AC và PD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ⇒ APCD là hình chữ nhật
c,
Vẽ ΔBFD vuông ở F
Ta cm được BCDF là hình chữ nhật ( tự chứng minh, cái này dễ)
⇒ FABP là hình chữ nhật
⇒ AP // BF
hay AO // BF
ΔBFD có A là trung điểm của FD( cái này hơn dài, nhưng cũng dễ, chứng minh thông qua BP và CP)
mà AO // BF ⇒ AO là đường trung bình của ΔBFD
⇒ O là trung điểm của BD
⇒ OB= OD
Gọi H là trung điểm của DC ⇒ NH là đường trung bình của DC
⇒ NH // AD hay OH // AD
⇒ ADHO là hình chữ nhật
Gọi L là giao điểm của AH với DO ⇒ L là trung điểm của AH và OL= 1/2.OD
Ta chứng minh được N là trung điểm của OH( hãy tự suy nghĩ để chứng minh, khá đơn giản)
Xét ΔAOH có OL và AN là đường trung tuyến, G là giao điểm của OL với AN
⇒ G là trọng tâm của ΔAOH
⇒ OG= 2/3.OL= 2/3.1/2.OD
⇒ OG= 1/3.OD
Ta có: BD= 2.OD
DG= OD-OG= OD-1/3.OD= 2/3.OD=BD/3= 1/3.BD
d,
ta chứng minh được ONEP là hình chữ nhật( tự chứng minh đi đừng lười)
Để ONEP là hình vuông thì ON=OP (1)
Mà ta cũng chứng mình được AMPN là hình thoi( cái này cũng easy lắm :V ) (2)
⇒ AP= MN
⇒ AMPN là hình vuông
⇒ ∠MAN = 90 độ
⇒ ΔABC vuông cân ở A
