Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có: $\frac{1}{2^{2}}$ + $\frac{1}{3^{2}}$+...+ $\frac{1}{9^{2}}$

=$\frac{1}{2.2}$ +$\frac{1}{3.3}$ +...+$\frac{1}{9.9}$<$\frac{1}{1.2}$ +$\frac{1}{2.3}$ +....+$\frac{1}{8.9}$

=$\frac{1}{1}$ -$\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+...+$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$

=1-$\frac{x1}{9}$ =$\frac{8}{9}$ 

=> A<$\frac{8}{9}$ 

Lại có:$\frac{1}{2^{2}}$ + $\frac{1}{3^{2}}$+...+ $\frac{1}{9^{2}}$

==$\frac{1}{2.2}$ +$\frac{1}{3.3}$ +...+$\frac{1}{9.9}$>$\frac{1}{2.3}$ +$\frac{1}{3.4}$+....+$\frac{1}{9.10}$

=$\frac{1}{2}$ -$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+...+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$

=$\frac{1}{2}$ -$\frac{1}{10}$ =$\frac{2}{5}$ 

=> A>$\frac{2}{5}$

Vậy 2/5 <A <8/9

3.Ta có:$\frac{1}{2^{2} }$ <$\frac{1}{1.2}$ 

              $\frac{1}{3^{2} }$ <$\frac{1}{2.3}$ 

.............$\frac{1}{9^{2}}$ <$\frac{1}{8.9}$ 

⇒A<$\frac{1}{1.2}$ +$\frac{1}{2.3}$ +....+$\frac{1}{8.9}$ 

⇔A<1-$\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{2}$ -$\frac{1}{3}$ +....+$\frac{1}{8}$ -$\frac{1}{9}$ 

⇔A<1-$\frac{1}{9}$ 

⇔A<$\frac{8}{9}$ .(1)

Ta có:$\frac{1}{2.3}$ <$\frac{1}{2^{2} }$ 

          $\frac{1}{3.4}$ <$\frac{1}{3^{2} }$ 

........$\frac{1}{9.10}$ <$\frac{1}{9^{2} }$ 

⇔A>$\frac{1}{2.3}$ +$\frac{1}{3.4}$ +....+$\frac{1}{9.10}$ 

⇔A>$\frac{1}{2}$ -$\frac{1}{3}$ +$\frac{1}{3}$ -$\frac{1}{4}$ +....+$\frac{1}{9}$ -$\frac{1}{10}$ 

⇔A>$\frac{1}{2}$ -$\frac{1}{10}$ 

⇔A>$\frac{2}{5}$ .(2)

Từ (1) và (2)⇒$\frac{2}{5}$ <A<$\frac{8}{9}$ .