a) Ta có AD là tia phân giác của \(\angle BAC\)
\( \Rightarrow \angle BAD = \angle CAD\,\,\,hay\,\,\,\angle EAD = \angle FAD.\)
Xét tam giác AED và tam giác AFD ta có:
\(\begin{array}{l} AD\,\,\,chung\\ \angle EAD = \angle FAD\,\,\left( {cmt} \right)\\ \angle AED = \angle AFD = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta AED = \Delta AFD\,\,\,\left( {ch - gn} \right).\end{array}\)
=> AE = AF (hai cạnh tương ứng).
b) Ta có: AE = AF (cmt)
Lại có: EM = FC (gt)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AE + EM = AF + FC\\ \Rightarrow AM = AC.\end{array}\)
Xét tam giác AMD và tam giác ACD ta có:
\(\begin{array}{l} AD\,\,\,chung\\ \angle MAD = \angle CAD\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ AM = AC\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AMD = \Delta ACD\,\,\,\left( {c - g - c} \right).\end{array}\)
c) Ta có \(\Delta AMD = \Delta ACD\,\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow MD = DC\) (hai cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow \Delta MDC\) là tam giác cân tại \(D\) (định nghĩa).
Mà H là trung điểm của MC (gt)
\( \Rightarrow DH\) là đường trung tuyến đống thời là đường cao của \(\Delta DMC.\)
\( \Rightarrow DH \bot MC.\,\,\,\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta AMC\) có \(AM = AC\,\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta AMC\) là tam giác cân tại \(A.\)
Lại có H là trung điểm của MC (gt)
\( \Rightarrow AH\) là đường trung tuyến đống thời là đường cao của \(\Delta AMC.\)
\( \Rightarrow AH \bot MC\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra A, D, H thẳng hàng. (đpcm)
