a. Ta có AD=AB ⇒ ΔABD cân A ⇒ $\widehat{ADB}=\widehat{ABD}$
mà $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ (AB//CD hai góc ở vị trí so le trong)
⇒ $\widehat{ADB}=\widehat{BDC}$
⇒ BD là phân giác $\widehat{ADC}$
b. Xét ΔEAB có $\widehat{EAB}=\widehat{EBA}$ (đồng vị với 2 góc bằng nhau)
⇒ ΔEAB cân E ⇒ AE=BE hay DE=EC=15
Áp dụng đinh lý ta lét có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
EB + BC = 15\\
\dfrac{{EB}}{{EC}} = \dfrac{{AB}}{{DC}}
\end{array} \right.
\to \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{EB}}{{15}} = \dfrac{{BC}}{{10}}\\
EB = 15 - BC
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{15 - BC}}{{15}} = \dfrac{{BC}}{{10}}\\
EB = 15 - BC
\end{array} \right.
\to \left\{ \begin{array}{l}
BC = 6\\
EB = 9
\end{array} \right.
\end{array}\)
c. Áp dụng định lý ta-lét vào hình thang cân ABCD và ΔABD và ΔABC có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{DM}}{{AD}} = \dfrac{{CQ}}{{BC}}\\
\dfrac{{DN}}{{DB}} = \dfrac{{DM}}{{AD}}\\
\dfrac{{CP}}{{AC}} = \dfrac{{CQ}}{{BC}}
\end{array} \right.
\to \dfrac{{DN}}{{DB}} = \dfrac{{CP}}{{AC}} (đpcm)
\end{array}\)
d. Do \(\dfrac{{DN}}{{DB}} = \dfrac{{CP}}{{AC}}\) mà AC=BD (do tứ giác $ABCD$ là hình bình hành)
⇒ DN=CP (1)
Do: \(\dfrac{{DM}}{{AD}} = \dfrac{{CQ}}{{BC}}\) mà AD=BC (do $ABCD$ là hình thang cân)
⇒ DM=CQ (2)
CMTT câu a ta đc AC là phân giác góc BCD
và $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$
⇒ $\widehat{MDN}=\widehat{PCQ}$ (3)
Từ (1); (2) và (3)
⇒ ΔNMD=ΔPQC (c.g.c)
⇒ MN=PQ (đpcm)
