Giải thích các bước giải:
a/ Xét ΔABD và ΔEBD
Có: $AB=BE$ (gt)
$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ (BD là tia phân giác $\widehat{ABC}$)
$BD$ chung
⇒ ΔABD = ΔEBD (c.g.c)
⇒ $\widehat{BAD}=\widehat{BED}$
Mà $\widehat{BAD}=90^0$ nên $\widehat{BED}=90^0$
Hay $DE ⊥ BC$
b/ Do $BA=BE$ (gt)
và $DA=DE$
⇒ $BD$ là đường trung trực đoạn thẳng AE
c/ Ở câu a có: $DE ⊥ BC$ tại E (1)
ΔBCF có: BD là tia phân giác $\widehat{ABC}$
⇒ BD cũng là đường cao ΔBCF
và $CA ⊥ BF$ (gt)
⇒ BD và CA là các đường cao ΔBCF
Chúng cắt nhau tại D
⇒ D là trực tâm ΔBCF
⇒ $FD ⊥ BC$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $D, E, F$ thẳng hàng
d/ Theo câu b ta có: BD là đường trung trực đoạn AE
Mà I ∈ BD nên $\widehat{AID}=\widehat{EID}$
Hay ID là tia phân giác $\widehat{AIE}$ (*)
Ta có: $BA=BE$
⇒ ΔABE cân tại B
⇒ $\widehat{BAE}=\dfrac{180^0-\widehat{ABE}}{2}$
và ΔBCF cân tại B
⇒ $\widehat{BFC}=\dfrac{180^0-\widehat{ABE}}{2}$
⇒ $\widehat{BAE}=\widehat{BFC}$
và ở vị trí so le trong
⇒ $AE//CF$
⇒ $\widehat{EAC}=\widehat{ACF}$ (3)
Ta có: AI là đường trung tuyến ΔACF vuông tại A
⇒ $AI=\dfrac{1}{2}.CF=IF$
⇒ ΔAIF cân tại I
⇒ $\widehat{IAF}=\widehat{IFA}$
Mà $\widehat{IAF}+\widehat{IAC}=90^0$
và $\widehat{IFA}+\widehat{ACF}=90^0$
nên $\widehat{IAC}=\widehat{ACF}$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra: $\widehat{EAC}=\widehat{IAC}$
Hay ID là tia phân giác $\widehat{IAE}$ (**)
Từ (*) và (**) suy ra: D là giao điểm 3 đường phân giác của ΔAEI
⇒ D cách đều 3 cạnh ΔAEI (tính chất)
Chúc bạn học tốt !!!
