Bài 4 :
a.
Xét hình thang ABCD có :
MA=MD ( gt)
MN//AB//DC ( gt)
=> MN là đường trung bình của hình thang ABCD
=> NB=NC
=> N là trung điểm của BC
Xét tam giác ABD có :
MA=MD ( gt)
MN//AB (gt) hay ME//AB(vì ME thuộc MN)
=> ME là đường trung bình của tam giác ABD
=> EB=ED
=> E là trung điểm của BD
Xét tam giác ABC có:
NB= NC ( cmt)
MN//AB ( gt ) hay FN//AB ( vì FN thuộc MN )
=> NF là đường trung bình của tam giác ABC
=> NB=NC
=> N là trung điểm của BC
b.
Gọi H là trung điểm DC.
Chứng minh HE// IF( vì cùng //BC)
=> HE vuông FK ( vì FK vuông IF)
Tương tự HF// EI( vì cùng //AD)
=> HF vuông EK( vì EK vuông IE)
Xét tam giác EFH có
EK và FK (2 đường cao nên K là trực tâm)
Suy ra HK vuông FE
mà FE //DC
nên HK vuông DC tại H
suy ra tam giác KDC cân tại K.
Nên KD=KC
Bài 5 :
a/ Trong ΔABC có N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC
⇒ NP là đường trung bình ΔABC
⇒ NP//AB//CD (1)
Trong ΔBCD có N, Q lần lượt là trung điểm của BC,BD
⇒ NQ là đường trung bình ΔBCD
⇒ NQ//CD//AB (1)
Trong hình thang ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC
⇒ MN là đường trung bình hình thang ABCD
⇒ MN//AB//CD (3)
Từ (1) (2) và (3) suy ra: M, N, P, Q thằng hàng
Hay M, N, P, Q nằm trên một đường thẳng
b/ Vì MN là đường trung bình thang ABCD
nên $MN=\dfrac{AB+CD}{2}=\dfrac{a+b}{2}$
Ta có: NP là đường trung bình ΔABC
⇒ $NP=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}$
Ta lại có: NQ là đường trung bình ΔBCD
⇒ $NQ=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{b}{2}$
Vì a>b nên $PQ=NP-NQ=\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{2}=\dfrac{a-b}{2}$
