Đáp án:
`a,`
Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có :
`hat{AHB} = hat{AHC} = 90^o`
`AB = AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)
`AH` chung
`-> ΔAHB = ΔAHC` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
$\\$
$\\$
$b,$
Do $HD//AC$
`-> hat{DHA} = hat{HAC}` (2 góc so le trong)
mà `hat{DAH} = hat{HAC}` (Do `ΔAHB =ΔAHC`)
`-> hat{DHA} = hat{DAH} (= hat{HAC})`
`-> ΔDAH` cân tại `D`
`-> AD = DH`
$\\$
$\\$
$c,$
Do $DH//AC$
`-> hat{DHB} = hat{C}` (2 góc đồng vị)
mà `hat{B} = hat{C}`
`-> hat{DHB} = hat{B} (= hat{C})`
`-> ΔDBH` cân tại `D`
`-> DB = DH`
mà `DA =DH`
`-> DB = DA (= DH)`
`->CD` là đường trung tuyến của `ΔABC`
Do `ΔABC` cân tại `A`
`AH` là đường cao
`-> AH` là đường trung tuyến của `ΔABC`
Xét `ΔABC` có :
`CD` là đường trung tuyến
`AH` là đường trung tuyến
`CD` cắt `AH` tại `G`
`-> G` là trọng tâm của `ΔABC`
mà `BE` là đường trung tuyến của `ΔABC`
`-> BE` đi qua `G`
`-> B,G,E` thẳng hàng
$\\$
$\\$
$d,$
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔABH` và `ΔAHC` có :
\(\left\{ \begin{array}{l}AB + BH < AH\\AC + HC < AH\end{array} \right.\)
Cộng theo vế ta được :
`AB + BH + HC + AC < AH + AH`
`-> AB + AC + BC < 2AH` `(1)`
Vì `G` là trọng tâm của `ΔABC`
`-> BG = 2/3 BE`
`-> BE = 3/2 BG`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔABE` và `ΔCBE` có :
\(\left\{ \begin{array}{l}AB + AE < BE\\BC + CE < BE\end{array} \right.\)
Cộng theo vế ta được :
`AB + AE + CE + BC < BE + BE`
`-> AB + AC + BC < 2BE`
mà `BE = 3/2 BG`
`-> AB + AC + BC < 2 . 3/2 BG`
`-> AB + AC + BC < 3BG` `(2)`
Đem `(1) + (2)` vế với vế ta được :
`AB + AC + BC + AB + AC + BC < 2AH + 3BG`
`-> 2AB + 2AC + 2BC < 2AH +3BG`
`-> 2 (AB + AC + BC) < 2AH + 3BG`
`-> AB + AC + BC< AH + 3BG`
mà `P_{ΔABC} = AB + AC + BC`
`-> P_{ΔABC} < AH + 3BG`
