Giải thích các bước giải:
a, Xét ΔAOB và ΔMON có:
AO = OM (gt); OB = ON (gt); $\widehat{AOB}$ = $\widehat{MON}$ (đối đỉnh)
⇒ ΔAOB = ΔMON (c.g.c) ⇒ AB = MN (đpcm)
b, Chứng minh tương tự câu a, ta có: ΔMOP = ΔAOC và MP = AC
ΔAOB = ΔMON ⇒ $\widehat{A2}$ = $\widehat{M2}$
ΔMOP = ΔAOC ⇒ $\widehat{M1}$ = $\widehat{A1}$
⇒ $\widehat{M1}$ + $\widehat{M2}$ = $\widehat{A1}$ + $\widehat{A2}$ = $90^{o}$
⇒ $\widehat{NMP}$ = $\widehat{BAC}$ = $90^{o}$
Xét ΔABC và ΔMNP có:
$\widehat{NMP}$ = $\widehat{BAC}$ = $90^{o}$; AB = MN; AC = MP
⇒ ΔABC = ΔMNP (c.g.c) (đpcm)
b, Xét ΔAON và ΔMOB có:
$\widehat{AON}$ = $\widehat{MOB}$ (đối đỉnh); OA = OM; ON = OB (gt)
⇒ ΔAON = ΔMOB (c.g.c) ⇒ $\widehat{OAN}$ = $\widehat{OMB}$
Chứng minh tương tự ta có ΔAOP = ΔMOC ⇒ $\widehat{OAP}$ = $\widehat{OMC}$
Suy ra: $\widehat{OAN}$ + $\widehat{OAP}$ = $\widehat{OMB}$ + $\widehat{OMC}$
⇒ $\widehat{PAN}$ = $\widehat{BMC}$ = $180^{o}$ ⇒ N, A, P thẳng hàng (đpcm)
ΔABC vuông tại A có AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒ AM = BC : 2
Mà BC = PN (do ΔABC = ΔMNP) ⇒ AM = PN : 2, lại có ΔMNP vuông tại M
⇒ A là trung điểm của NP (đpcm)
c, Ta có: AM = AN = NP : 2 ⇒ ΔMAN cân tại A ⇒ $\widehat{M2}$ = $\widehat{ANM}$
Gọi E = MN ∩ AC
Xét ΔAEM và ΔAEN có:
AE chung; $\widehat{M2}$ = $\widehat{ANM}$; AM = AN
⇒ ΔAEM = ΔAEN (c.g.c)
⇒ $\widehat{AEM}$ = $\widehat{AEN}$ mà 2 góc này bù nhau
⇒ $\widehat{AEM}$ = $\widehat{AEN}$ = $90^{o}$
⇒ MN ⊥ AC (đpcm)
d, Nếu ΔABC có AB = AC tức là ΔABC vuông cân ở A thì Δ MNP cũng vuông cân ở M
(do ΔABC = ΔMNP)
Mặt khác MA là trung tuyến ứng với cạnh huyền NP
⇒ MA cũng là đường trung trực của NP (đpcm)
