$a)BD$ là phân giác $\widehat{ABC}$
$=> \widehat{B_1}= \widehat{B_2}$
Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$
$BD$: chung
$AB=EB(gt)\\\widehat{B_1}= \widehat{B_2}\\=>\Delta ABD = \Delta EBD\\b)\Delta ABD = \Delta EBD\\=>\widehat{E_1}= \widehat{A_1}=90^o\\=>DE \perp BC$
$c)$Xét $\Delta BEF$ và $\Delta BAC$
$\widehat{ABC}:$ chung
$AB=EB(gt)\\\widehat{E_1}= \widehat{A_1}\\=>\Delta BEF = \Delta BAC\\=>EF=AC\\d)\Delta BEF = \Delta BAC\\=>BF=BC$
$=>\Delta BFC$ cân tại $B$
$\Delta BCF\\FE \perp BC\\AC \perp BF$
$FE$ cắt $AC$ tại $D=>D$ là trực tâm $\Delta BCF$
$=>BD \perp FC$ mà $\Delta BFC$ cân tại $B$
$=>BD$ cũng đồng thời là đường trung tuyến
$=>BD$ đi qua trung điểm $FC$ hay $BD$ đi qua $H$
$=>B,D,H$ thẳng hàng