a, b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$+) \quad AB^2 + AC^2 = BC^2$
$\Rightarrow BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} =\sqrt{10^2 + 8^2} = 2\sqrt{41} \, cm$
$+)\quad AB.AC = BC.AH$
$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC} = \dfrac{10.8}{2\sqrt{41}}=\dfrac{40\sqrt{41}}{41}\, cm$
$+) \quad AB^2 = BH.BC$
$\Rightarrow BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{100}{2\sqrt{41}} = \dfrac{50\sqrt{41}}{41}\, cm$
$+)\quad BC = BH + CH$
$\Rightarrow CH = BC - BH = 2\sqrt{41} - \dfrac{50\sqrt{41}}{41} = \dfrac{32\sqrt{41}}{41}\, cm$
$+) \quad AI.AB = AH^2$
$AK.AC = AH^2$
$\Rightarrow AI.AB = AK.AC$
c) Xét tứ giác $AIHK$ có:
$\widehat{A} = \widehat{I} = \widehat{K} = 90^o$
Do đó $AIHK$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow HI = AK; \, HK = AI$
Gọi $N$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$\dfrac{1}{HM^2} = \dfrac{1}{HI^2} + \dfrac{1}{HK^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{HM^2} = \dfrac{1}{AK^2} + \dfrac{1}{AI^2}$
d) Ta có: $∆ABH\sim ∆CAH\, (g.g)$
$\Rightarrow\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AH}{CH}$
$\Rightarrow \dfrac{AB^2}{AC^2} = \dfrac{AH^2}{CH^2} = \dfrac{BH.CH}{CH^2} = \dfrac{BH}{CH}$
$\Rightarrow \dfrac{AB^4}{AC^4} = \dfrac{BH^2}{CH^2} = \dfrac{BI.AB}{CK.AC}$
$\Rightarrow \dfrac{AB^3}{AC^3} = \dfrac{BI}{CK}$
