Đáp án + Giải thích các bước giải: ( Có hình + Giả thiết - Kết luận )
a) Xét $\triangle$ `ABM` và $\triangle$ `ACM` có :
`AB = AC` ( giả thiết )
`BM = CM` ( `M` là trung điểm `BC` )
`AM` : cạnh chung
`=>` $\triangle$ `ABM =` $\triangle$ `ACM ( Theo trường hợp : cạnh - cạnh - cạnh )
Vậy $\triangle$ `ABM =` $\triangle$ `ACM`
`b)` Vì $\triangle$ `ABM =` $\triangle$ `ACM` ( chứng minh câu a )
`=>` $\widehat{AMB}$ `=` $\widehat{AMC}$ ( hai góc tương ứng )
Mà K $\in$ AM ( theo đề bài )
`=>` $\widehat{KMB}$ `=` $\widehat{KMC}$
Xét $\triangle$ `KBM` và $\triangle$ `KCM` có :
`BM = CM` ( `M` là trung điểm `BC` )
$\widehat{KMB}$ `=` $\widehat{KMC}$
`KM :` cạnh chung
`=>` $\triangle$ `KBM =` $\triangle$ `KCM` ( Theo trường hợp : cạnh - góc - cạnh )
`=> KB = KC` ( hai cạnh tương ứng )
Vậy `KB = KC`
`c)` Vì `AB = AC` ( theo giả thiết )
`=>` $\triangle$ `ABC` cân tại `A`
`=>` $\widehat{ABC}$ `=` $\widehat{ACB}$
$\triangle$ `KBM =` $\triangle$ `KCM` ( chứng minh câu `b` )
`=>` $\widehat{KBM}$ `=` $\widehat{KCM}$ ( hai góc tương ứng )
Xét $\triangle$ `EBC` và $\triangle$ `FCB` có :
$\widehat{EBC}$ `=` $\widehat{FCB}$ ( chứng minh trên )
`BC :` cạnh chung
$\widehat{ECB}$ `=` $\widehat{FBC}$ ( chứng minh trên )
`=>` $\triangle$ EBC `=` $\triangle$ FCB ( Theo trường hợp : góc - cạnh - góc )
`=> EB = FC` ( hai cạnh tương ứng )
Ta có : `AB = AE + EB`
`AC = AF + FC`
Mà `AB = AC ; EB = FC` ( giả thiết `+` chứng minh trên )
`=> AE = AF`
`=>` $\triangle$ `AEF` cân tại `A`
`=>` $\widehat{AEF}$ `=` $\widehat{AFE}$
Xét $\triangle$ AEF có :
$\widehat{AEF}$ `+` $\widehat{AFE}$ `+` $\widehat{A}$ `=` $180^{o}$
`=> 2 .` $\widehat{AEF}$ `=` $180^{o}$ `-` $\widehat{A}$
`=>` $\widehat{AEF}$ `=` `(180^{o} - \hat{A})/2`
Xét $\triangle$ ABC có :
$\widehat{ABC}$ `+` $\widehat{ACB}$ `+` $\widehat{A}$ = $180^{o}$
`2 .` $\widehat{ABC}$ `=` $180^{o}$ `-` $\widehat{A}$
`=>` $\widehat{ABC}$ `=` `(180^{o} - \hat{A})/2`
Từ hai điều trên , ta thấy : $\widehat{ABC}$ `=` $\widehat{AEF}$
Mà hai góc nằm ở vị trí đòng vị `=> EF` // `BC` ( Theo tính chất )
Vậy `EF` // `BC` .
