Giải thích các bước giải:
Bài 8:
a, M là trung điểm của AB => AM = BM = $\frac{1}{2}$BC
Ta có: $\left \{ {{AN = CN} \atop {BP = CP}} \right.$ ⇒ NP là đường tb của ΔABC => NP // AB => NP // BM (1)
và NP = $\frac{1}{2}$AB => NP = BM (2)
Từ (1), (2) => BMNP là hbh
b, Xét tam giác ABC có:
MA = MB
PB = PC
=> MP là đường trung bình của ΔABC
=> MP//AC và MP= $\frac{1}{2}$AC
mà AN=NC= $\frac{1}{2}$AC
=>MP=AN
Xét AMPN có:
MP//AN (MP//AC)
MP = AN (cmt)
=> AMPN là hình bình hành
Xét hình bình hành AMPN có ^MAN=900
=>AMPN là hình chữ nhật (đl 2)
c,Ta có: AMPN là HCN (cm câu b)
=> AN = MP , AM = PN (t/c HCN)
AN = MP mà MR = MP ( P đx R qua M)
=> AN = MR
AM = PN mà PN = NQ ( P đx Q qua N )
=> AM = NQ
Xét ΔMRA vuông tại M, ΔNAQ vuông tại N có:
MR = NA (cmt)
MA = NQ (cmt)
=> ΔMRA = ΔNAQ (2 cạnh gv)
=> ^MAR = ^NQA (2 góc t/ư)
mà ^NAQ + ^NQA = 900 ( ΔNAQ vuông tại N)
=> ^NAQ + ^MAR = 900
=> ^MAR + ^MAN + ^NAQ = 900 + 900 = 1800
=> R, A,Q thẳng hàng
Bài 9:
Xét ΔABC cân tại A có:
AM là đường trung tuyến
=> AM là đường cao
=> ∠AMB = ∠AMC = 900
Xét ΔAMB có ∠AMB = 900
MK là đường trung tuyến ứng vs cạnh huyền AB
=> MK = AB (1)
Mà: K là trung điểm của AB
=> KA = KB = $\frac{1}{2}$ (2)
Từ (1), (2)=> MK = AK = BK (3)
Chứng minh tương tự ta có:
MI = AI = CI = $\frac{1}{2}$ AC (4)
Mà: AB = AC( ΔABC cân) (5)
Từ (3), (4), (5)
=> MI = AI = CI = MK = AK = BK
Xét tứ giác AKMI có:
AK = KM = MI = AI
=> Tứ giác AKMI là hình thoi
b, Xét tứ giác ANCM có:
AI = CI
MI = NI ( đối xứng)
Mà: AC cắt MN tai J
Nên tứ giác ANCM là hình bình hành
Xét hình bình hành ANCM có:
∠AMC = 900
=> hình bình hành ANCM là hình chữ nhật
c, Ta có: hình chữ nhật ANCM
=> AC = MN
=> AN = MC
Mà AC = AB
Nên MN = AB
Ta có: AN = MC
Mà MC = BM
Nên AN = BM
Xét tứ giác ANMB có:
AN = BM
MN = AB
=> tứ giác ANMB là hình bình hành
=> AM cắt BN tại trung điểm của mỗi đường
Mà E là trung điểm của AM
=> E cùng là trung điểm của BM
d, Để hình chữ nhật ANCM là hình vuông
<=> MN là tia phân giác của góc AMC
Để MN là tia phân giác của góc AMC
<=> có góc A = 900
