Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Xét ΔCDF và ΔEDB có:
∠CDF = ∠EDB = $90^{o}$ (ED là đường cao)
∠DCF = ∠DEB (ΔAEF ~ ΔDCF)
⇒ ΔCDF ~ ΔEDB (gg)
⇒ $\frac{CD}{ED}$ = $\frac{DF}{DB}$ (tỉ số đồng dạng)
⇒ DC.DB = DE.DF
DE.DF lớn nhất ⇔ DC.DB lớn nhất
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số DC và DB dương ta được:
DC + DB ≥ 2$\sqrt{DC.DB}$
⇔ $\sqrt{DC.DB}$ ≤ $\frac{DC+DB}{2}$
⇔ DC.DB ≤ ($\frac{DC+DB}{2}$)²
⇔ DC.DB ≤ ($\frac{BC}{2}$)²
⇔ DC.DB ≤ $\frac{BC²}{4}$
Mà BC cố định ⇒ Dấu "=" xảy ra ⇔ DC = DB
⇒ D là trung điểm của BC
Vậy DE.DF lớn nhất ⇔ D là trung điểm của BC
Chúc bn học tốt!
