Giải thích các bước giải:
Ta có :
$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)=-3(-x)(-y)(-z)=3xyz$
$x+y=-z$
$2(xy+yz+zx)+1=0\to 2xy+2z(y+x)+1=0\to xy=-z(y+x)-\dfrac 12=z^2-\dfrac 12$
$\to x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)=-3(-x)(-y)(-z)=3xyz=3(z^2-\dfrac 12)$
$\to P=\dfrac{25}{9}.3z(z^2-\dfrac{1}{2})-\dfrac{71}{6}z=\dfrac{25z^3-48z}{3}$
Lại có :
$z=-(x+y)$
$2z(x+y)+2xy+1=0\to -2z^2+2xy+1=0\to 2z^2-1\le \dfrac{1}{2}(x+y)^2=\dfrac{1}{2} z^2$
$\to \dfrac{3}{2}z^2\le 1$
$\to z^2\le \dfrac{2}{3}\to -\sqrt{\dfrac 32}\le z\le \sqrt{\dfrac 32}$
$\to $Khảo sát hàm số $P=\dfrac{25z^3-48z}{3}$ trên đoạn $[-\sqrt{\dfrac 32},\sqrt{\dfrac 32}]$ để tìm min, max
