a, AO ⊥ d (gt) ⇒ $\widehat{OAD}=\widehat{OAE}=90°$
Xét (O) có: EC là tiếp tuyến, C là tiếp điểm
⇒ OC ⊥ EC ⇒ $\widehat{OCE}=90°$ Hay $\widehat{OCM}=90°$
Xét tứ giác AOCE có: $\widehat{OCE}+\widehat{OAE}=90°+90°=180°$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác AOCE nội tiếp đường tròn đường kính OE
b, Tứ giác AOCE nội tiếp đường tròn đường kính OE (cmt)
⇒ $\widehat{CEO}=\widehat{CAO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{CO}$)
Hay $\widehat{CEN}=\widehat{BAF}$
Xét (O), có: DM là tiếp tuyến, B là tiếp điểm
⇒ OB ⊥ DM ⇒ $\widehat{OBM}=\widehat{OBD}=90°$
Xét tứ giác MBOC có: $\widehat{OBM}+\widehat{OCM}=90°+90°=180°$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác MBOC nội tiếp đường tròn đường kính OM
⇒ $\widehat{MOB}=\widehat{MCB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{MB}$)
Hay $\widehat{MOB}=\widehat{ECA}$
Xét (O) có:
DM, CE là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M
B, C là hai hai tiếp điểm
⇒ OM là phân giác $\widehat{BOC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒ $\widehat{MOB}=\widehat{MOC}$
Mà $\widehat{MOB}=\widehat{ECA}$
⇒ $\widehat{MOC}=\widehat{ECA}$
Tứ giác MBOC nội tiếp đường tròn đường kính OM (cmt)
⇒ $\widehat{MOC}=\widehat{MBC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{MB}$)
Mà $\widehat{MOC}=\widehat{ECA}$
⇒ $\widehat{MBC}=\widehat{ECA}$
Mà $\widehat{MBC}=\widehat{ABF}$ (hai góc đối đỉnh)
⇒ $\widehat{ABF}=\widehat{ECA}$
Hay $\widehat{ABF}=\widehat{ECN}$
Xét ΔABF và ΔECN có:
$\widehat{ABF}=\widehat{ECN}$ (cmt)
$\widehat{BAF}=\widehat{CEN}$ (cmt)
⇒ ΔABF ~ ΔECN (g.g)
⇒ $\frac{AB}{EC}=\frac{AF}{EN}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ AB.EN = AF.EC
c, Xét tứ giác ABOD có: $\widehat{OBD}=\widehat{OAD}=90°$
Hai điểm B và A cùng nhìn OD dưới một góc vuông
⇒ Tứ giác ABOD nội tiếp đường tròn đường kính OD
⇒ $\widehat{ADO}+\widehat{ABO}=180°$ (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)
Hay $\widehat{EDO}+\widehat{ABO}=180°$
Mà $\widehat{CBO}+\widehat{ABO}=180°$ (hai góc kề bù)
⇒ $\widehat{EDO}=\widehat{CBO}$
Tứ giác AOCE nội tiếp đường tròn đường kính OE (cmt)
⇒ $\widehat{AEO}=\widehat{ACO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{AO}$)
Hay $\widehat{DEO}=\widehat{BCO}$
Xét (O) có: OB = OC =R
Xét ΔOBC có: OB = OC (cmt)
⇒ ΔOBC cân tại O
⇒ $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$
Mà $\widehat{DEO}=\widehat{BCO}$ (cmt), $\widehat{EDO}=\widehat{CBO}$ (cmt)
⇒ $\widehat{EDO}=\widehat{DEO}$
Xét ΔODE có: $\widehat{EDO}=\widehat{DEO}$ (cmt)
⇒ ΔODE cân tại O
Mà OA ⊥ DE (gt)
⇒ OA là trung tuyến
⇒ A là trung điểm của DE
