Bài 1: Ta có: AB = 5 cm, AC = 12 cm, BC = 13 cm (gt)
Suy ra: $AB^{2}$ = 25 cm, $AC^{2}$ = 144 cm, $BC^{2}$ = 169 cm
=> $AB^{2}$ + $AC^{2}$ = 25 + 144 = 169 = $BC^{2}$
=> Tam giác ABC là tam giác vuông ( Định lí Pitago đảo )
*Chú ý: Định lí Pitago đảo chính là chiều ngược lại của định lí Pitago, được phát biểu như sau: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
Bài 2:
a) Cách 1: Áp dụng tính chất đường phân giác trong một tam giác cân cũng là đường trung tuyến
Xét tam giác ABC cân tại A có AD là phân giác góc BAC
=> AD đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABC
=> DB = DC
Cách 2: Nếu như chưa học tính chất trên thì bạn có thể dùng cách 2, thực chất cách 2 cũng chính là đi chứng minh cho phần tính chất ta áp dụng ở cách 1
Xét ΔABD và ΔACD
Ta có: AB = AC ( do tam giác ABC cân tại A )
∠BAD = ∠CAD ( do AD là phân giác góc BAC )
AD là cạnh chung
=> ΔABD = ΔACD ( c-g-c )
=> DB = DC ( hai cạnh tương ứng )
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b) Xét ΔDHA và ΔDKA
Ta có: ∠AHD = ∠AKD = 90 độ
AD là cạnh huyền chung
∠HAD = ∠KAD ( do AD là phân giác góc BAC hay cũng là góc HAK )
=> ΔDHA = ΔDKA ( cạnh huyền - góc nhọn )
=> DH = DK ( Hai cạnh tương ứng )
Do đó: Tam giác DHK cân tại D ( Đpcm )
c) Vì ΔDHA = ΔDKA ( câu b ) nên AH = AK
=> Tam giác HAK cân tại A
Lại có: AD là phân giác của tam giác HAK nên AD đồng thời là đường cao của tam giác HAK
=> AD vuông góc với HK
Lại có: AD vuông góc với BC ( do tam giác ABC cân tại A có đường phân giác AD )
Do đó: HK // BC ( cùng vuông góc với AD ) ( Đpcm )
