Đáp án:
a, `y=x+1`
b, `S={x|x>0|x<4}`
Giải thích các bước giải:
a, Gọi `A(x_0,y_0)` là giao điểm của `(C)` và trục `Oy` (trục tung)
Do `A(x_0,y_0)` là giao giao điểm của `(C)` và trục tung `Oy`
`=>A(0,1)`
Áp dụng quy tắc thương để tính đạo hàm
`(\frac{g(x)}{h(x)})'=\frac{h(x).g'(x)-g(x).h'(x)}{h(x)^2}`
Ta có:
`y'=f'(x)=(\frac{2x+1}{x+1})'=\frac{(x+1)(2x+1)'-(2x+1)(x+1)'}{(x+1)^2}`
`=\frac{(x+1)(2+0)-(2x+1)(1+0)}{(x+1)^2}`
`=\frac{2x+2-2x-1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}`
`=>f'(x_0)=f'(0)=\frac{1}{(0+1)^2}=\frac{1}{1^2}=\frac{1}{1}=1`
Áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến
`y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0`
Ta có:
`y=1(x-0)+1=x-0+1=x+1`
Vậy phương trình tiếp tuyến của `(C)` tại giao điểm của `(C)` và trục `Oy` là `y=x+1`
b, Ta có:
`f'(x)>0`
`<=>(\sqrt{8x-x^2})'>0`
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm căn bậc 2
`(\sqrt{g(x)})'=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}`
`<=>\frac{(8x-x^2)'}{2\sqrt{8x-x^2}}>0`
`<=>\frac{8x'-(x^2)'}{2\sqrt{8x-x^2}}>0`
`<=>\frac{8-2x}{2\sqrt{8x-x^2}}>0`
`<=>\frac{2(4-x)}{2\sqrt{8x-x^2}}>0`
`<=>\frac{4-x}{\sqrt{8x-x^2}}>0`
ĐKXĐ: `8x-x^2>0`
`<=>x^2<8x`
`<=>0<x<8`
Ta thấy `\sqrt{8x-x^2}>0` với mọi `0<x<8` `(1)`
Nên để `f'(x)>0` thì `4-x>0`
`<=>4<x` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)`
`=>0<x<4`
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là `S={x|x>0|x<4}`
