Đáp án:
`P_{ABCD}=2+5\sqrt{3}+5\sqrt{2}cm`
`S_{ABCD}={25\sqrt{3}}/6+5(cm^2)`
Giải thích các bước giải:
Vẽ $AE\perp CD$ tại $E$
$\quad ABCD$ là hình thang
`=>AB`//$CD$
`=>\hat{AHC}+\hat{HCE}=180°` (hai góc trong cùng phía bù nhau)
`=>90°+\hat{HCE}=180°`
`=>\hat{HCE}=90°`
`=>\hat{AHC}=\hat{HCE}=\hat{AEC}=90°`
`=>AHCE` là hình chữ nhật
`=>EA=CH=5cm`
$\\$
Xét $∆ADE$ vuông tại $E$ có `\hat{ADE}=45°`
`=>∆ADE` vuông cân tại $E$
`=>ED=EA=5cm`
`\qquad sin\hat{ADE}=sin45°={AE}/{AD}`
`=>AD=AE : sin45°=5: 1/\sqrt{2}=5\sqrt{2}cm`
$\\$
`\qquad CE=DE-DC=5-3,5=1,5cm`
$\quad AHCE$ là hình chữ nhật
`=>AH=CE=1,5cm`
$\\$
Xét $∆BHC$ vuông tại $H$
`=>cos\hat{BCH}=cos30°={CH}/{BC}`
`=>BC=CH : cos30°`
`=5: \sqrt{3}/2={10}/\sqrt{3}={10\sqrt{3}}/3cm`
$\\$
`\qquad tan\hat{BCH}=tan30°={BH}/{CH}`
`=>BH=CH.tan30°={5\sqrt{3}}/3cm`
$\\$
`=>AB=BH-AH={5\sqrt{3}}/3-1,5cm`
$\\$
`=>P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD`
`={5\sqrt{3}}/3-1,5+{10\sqrt{3}}/3+3,5+5\sqrt{2}`
`=2+5\sqrt{3}+5\sqrt{2}cm`
$\\$
`S_{ABCD}=(AB+CD).CH :2`
`=({5\sqrt{3}}/3-1,5+3,5). 5 : 2`
`={25\sqrt{3}}/6+5(cm^2)`
Vậy:
`P_{ABCD}=2+5\sqrt{3}+5\sqrt{2}cm`
`S_{ABCD}={25\sqrt{3}}/6+5(cm^2)`
