Trên tia đối của tia $AC$ lấy điểm $D$ sao cho $AD = AC$
$\Rightarrow AB = AC = AD = \dfrac{1}{2}DC$
$\Rightarrow ∆BDC$ vuông tại $B$
$\Rightarrow BD\perp BC$
Mà $AH\perp BC \, (gt)$
$\Rightarrow AH//BD$
Lại có: $AD = AC$ (cách dựng)
$\Rightarrow AH$ là đường trung bình của $∆BDC$
$\Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}BD$
Áp dụng hệ thức lượng trong $∆BDC$ vuông tại $B$, đường cao $BK$ ta được:
$+)\quad \dfrac{1}{BK^2} = \dfrac{1}{BC^2} + \dfrac{1}{BD^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{BK^2} = \dfrac{1}{BC^2} + \dfrac{1}{(2AH)^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{BK^2} = \dfrac{1}{BC^2} + \dfrac{1}{4AH^2}$
$+) \quad BC^2 = CK.DC$
$\Leftrightarrow BC^2 = CK.2AC$
$\Leftrightarrow BC^2 = 2CK.AC$
Dựa vào công thức đã chứng minh, ta được:
$\dfrac{1}{BC^2} = \dfrac{1}{BK^2} - \dfrac{1}{4AH^2}$
$\Rightarrow BC = \dfrac{4AH.BK}{\sqrt{4AH^2 - BK^2}} = \dfrac{4.40.48}{\sqrt{4.40^2 - 48^2}} = 120 \, cm$
Ta được:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}BC.AH = \dfrac{1}{2}.120.40 = 2400 \, cm^2$
