Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
Cho đường tròn (O) bán kính R và điểm M nằm ngoài (O). Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Trên đoạn AB lấy điểm C (C khác với A và B). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MA, MC. Đường thẳng KA cắt (O) tại điểm thứ hai  là D.
a)      CMR: \(K{O^2} - K{M^2} = {R^2}\).
Ta có : \(I\) là trung điểm của \(AM,\;K\) là trung điểm của \(MC\;\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow KI//AC\) (đường trung bình của \(\Delta AMC\))
Lại có \(MO \bot AB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow KI \bot MO\;\;\) (từ song song đến vuông góc).
Gọi \(P\) là giao điểm của \(MO\) và là giao điểm của \(KI\) và \(MO.\) 
Xét \(\Delta OAM\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AP\) ta có : \(O{A^2} = OP.OM = {R^2}.\)
Xét \(\Delta MQK\) vuông tại \(Q\) ta có : \(K{M^2} = M{Q^2} + Q{K^2}.\)
Xét \(\Delta QKO\) vuông tại \(Q\) ta có :\(K{O^2} = Q{O^2} + Q{K^2}.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow K{O^2} - K{M^2} = Q{O^2} + Q{K^2} - M{Q^2} - Q{K^2}\\ = Q{O^2} - M{Q^2} = \left( {QO - MQ} \right)\left( {QO + MQ} \right)\end{array}\)
Xét \(\Delta AMP\) có : \(\left\{ \begin{array}{l}AI = MI\;\;\left( {gt} \right)\\IQ//AP\;\;\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow Q\) là trung điểm của \(MP\)  (tính chất đường trung bình)
\( \Rightarrow MQ = QP.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow K{O^2} - K{M^2} = \left( {QO - MQ} \right)\left( {QO + MQ} \right)\\ = \left( {QO - QP} \right).MO = OP.MO = {R^2}.\end{array}\)
Vậy \(K{O^2} - K{M^2} = {R^2}.\)            
b)     CMR: tứ giác BCDM nội tiếp.
Gọi giao điểm của \(KO\) với \(\left( O \right)\) là \(G,\;H\) như hình vẽ.
Xét \(\Delta KGA\) và \(\Delta KDH\) ta có :
\(\angle AKG\;\;chung\)
\(\angle KAG = \angle KHD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DG\))
\( \Rightarrow \Delta KGA \sim \Delta KDH\;\;\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{KG}}{{KD}} = \frac{{KA}}{{KH}} = KG.KH = KA.KD.\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
Ta có:
\(\begin{array}{l}K{M^2} = K{O^2} - {R^2} = (KO - R)(KO + R)\;\\ = (KO - OG)(KO + OH) = KG.KH = KD.KA\;\;\;\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \frac{{KM}}{{KA}} = \frac{{KD}}{{KM}}\\ \Rightarrow \Delta KMD \sim \Delta KAM(c - g - c)\end{array}\)
Có \(\angle DAM = \angle KMD\)
\( \Rightarrow \angle KMD = \angle KAM = \angle DBA = \angle CBD\)  (các góc tương ứng bằng nhau).
Vậy ta có tứ giác MBCD là tứ giác nội tiếp (dhnb).
c)      Gọi E là giao điểm thứ 2 của MD với (O), N là trung điểm của KE. Đường thẳng KE cắt (O) tại điểm thứ 2 là F. CMR: 4 điểm I, A, N, F cùng thuộc một đường tròn.
Ta có: MDE là cát tuyến, MA là tiếp tuyến nên : \(\angle MEA = \angle DAM\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AD\)).
Mà  (Theo câu b)). \( \Rightarrow \angle MEA = \angle EMK\;\;\left( { = \angle DAM} \right)\)
Lại có hai góc ở vị trí so le trong  
Tứ giác MAKE  nội tiếp có I, N  là trung điểm 2 cạnh bên AM và EK  (\Rightarrow IN//AE.\)
Do đó:  \( \Rightarrow MK//AE.\)\(\angle FNI=\angle KNI=\angle FEA\ (IN//AE)=\angle FAI\)
Do vậy: tứ giác IANF  nội tiếp. (dhnb)