Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có
$(a-b)^2 \geq 0$ với mọi $a,b$
$\Leftrightarrow 3(a-b)^2 \geq 0$ với mọi $a,b$
$\Leftrightarrow 3a^2 - 6ab + 3b^2 \geq 0$
$\Leftrightarrow 4a^2 - 4ab + 4b^2 \geq a^2 + 2ab + b^2$
$\Leftrightarrow 4(a^2 - ab + b^2) \geq (a+b)^2$
$\Leftrightarrow a^2 - ab + b^2 \geq \dfrac{(a+b)^2}{4}$
$\Leftrightarrow \sqrt{a^2 - ab + b^2} \geq \dfrac{a+b}{2}$
Tương tự ta có
$\sqrt{b^2 - bc + c^2} \geq \dfrac{b+c}{2}$
$\sqrt{c^2 - ca + a^2} \geq \dfrac{c+a}{2}$
Cộng vế với vế ta có
$\sqrt{a^2 - ab + b^2} + \sqrt{b^2 - bc + c^2} + \sqrt{c^2 - ca + a^2} \geq \dfrac{a+b}{2} + \dfrac{b+c}{2} + \dfrac{c+a}{2}$
$\Leftrightarrow A \geq \dfrac{a+b+b+c+c+a}{2}$
$\Leftrightarrow A \geq a + b + c = 3$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a = b, b = c, c = a$ và $a + b + c = 3$ hay $a = b = c = 1$.
Vậy GTNN của $A$ là $3$, đạt đc khi $a = b = c = 1$.
