Cm
a.Ta có: ABC+ACB+BAC=180° (tổng ba góc trong tam giác)
=>ABC=180°-ACB-BAC=180°-90°-60°=30° (1)
=>ABC=30° hay ABE=30°
Mặt khác: CAE=BAE (do AE là phân giác góc B)
=>CAE=BAE=$\frac{BAC}{2}$=$\frac{60°}{2}$=30° (2)
Từ (1) và (2) =>ABE=BAE (=30°)
=>ΔAEB cân tại E
Lại có: EK là đường cao ứng với cạnh AB
=>Đường cao EK đồng thời là đường trung tuyến
=>KA=KB
b.Xét ΔADB và ΔBCA có:
ADB=BCA=90°
AB chung
DAB=CBA (do ABE=BAE)
=>ΔADB=ΔBCA (ch-gn)
=>AD=BC (2 cạnh tương ứng)
c.Vì ΔAEB cân tại E (cm câu a)
=>EB=EA (2 cạnh bên bằng nhau)
Xét ΔDEB và ΔCEA có:
EDB=ECA=90°
EB=EA (cmt)
DEB=CEA (2 góc đối đỉnh)
=>ΔDEB=ΔCEA (ch-gn)
=>DE=CE (2 cạnh tương ứng)
=>ΔDEC cân tại E
=>EDC=$\frac{180°-DEC}{2}$
Mặt khác: ΔAEB cân tại E (cm câu a)
=>EAB=$\frac{180°-AEB}{2}$
Lại có: DEC=AEB (2 góc đối đỉnh)
=>EDC=EAB hay ADC=DAB
mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong nên:
=>CD//AB
d.Gọi H là giao điểm của CA,DB và EK
Ta có: DEB=CAE (do ΔDEB=ΔCEA)
Lại có: CAE=30° (cm câu a)
=>DEB=30°
=>DEB+ABE=30°+30°=60°
hay ABH=60°
Mặt khác BAH=60° (do BAC=60°)
=>ΔABH là Δ đều
=>3 đường cao HK,BA và AD đều là đường trung tuyến
=>E là trọng tâm của ΔABH
=>$\frac{EC}{BC}$=$\frac{ED}{AD}$ (=$\frac{1}{2}$)
=>EC=ED (do BC=AD)
và $\frac{BE}{BC}$=$\frac{2}{3}$
=>3BE=2BC
=>3BE=2.9
=>3BE=18
=>BE=6 (cm)
Ta có: EC=BC-BE=9-6=3 (cm)
Lại có: EC=ED (cmt)
=>ED=3 (cm)
Vì ΔEDB vuông tại D nên:
=>BE²=DB²+ED²
<=>DB²=BE²-ED²
<=>DB²=6²-3²
<=>DB²=36-9
<=>DB²=27
<=>DB=√27 (cm)
Vậy DB=√27 cm.
