Đáp án:
\[m = \frac{1}{{11}}\]
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow b = \left( {3m + 1;2;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{\left( {3m + 1} \right)}^2} + {2^2} + {3^2}} \\
\overrightarrow c = \left( {m - 2;1;2} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt {{{\left( {m - 2} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} \\
\Rightarrow P = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2.{\left| {\overrightarrow c } \right|^2}\\
= \left[ {{{\left( {3m + 1} \right)}^2} + {2^2} + {3^2}} \right] + 2.\left[ {{{\left( {m - 2} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} \right]\\
= \left( {9{m^2} + 6m + 1 + 13} \right) + 2.\left( {{m^2} - 4m + 4 + 5} \right)\\
= \left( {9{m^2} + 6m + 14} \right) + 2{m^2} - 8m + 18\\
= 11{m^2} - 2m + 32\\
= 11\left( {{m^2} - \frac{2}{{11}}m + \frac{1}{{121}}} \right) + \frac{{351}}{{11}}\\
= 11.{\left( {m - \frac{1}{{11}}} \right)^2} + \frac{{351}}{{11}} \ge \frac{{351}}{{11}},\,\,\,\,\forall m
\end{array}\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \(m = \frac{1}{{11}}\)
Vậy \({\left( {{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} + 2.{{\left| {\overrightarrow c } \right|}^2}} \right)_{\min }} = \frac{{351}}{{11}} \Leftrightarrow m = \frac{1}{{11}}\)
