Ta có
$(1 + x + x^2)^{10} = [(1 + x) + x^2]^{10}$
$= \sum_{i=0}^{10} C_{10}^i (x^2)^{10-i} (1+x)^i$
$= \sum_{i=0}^{10} C_{10}^i x^{20-2i} \sum_{k=0}^i C_i^k x^k$
$= \sum_{i=0}^{10} C_{10}^i C_i^k x^{10-2i+k}$
Tìm $a_4$ là tìm hệ số $x^4$ trong khai triển, tức là
$10-2i + k = 4$
$<-> 2i - k = 6$
với $0 \leq i \leq 10$ và $0 \leq k \leq i$.
Vậy cặp $(i,k)$ là $(6,6), (5, 4), (4, 2), (3, 0)$
Vậy $a_4$ là
$C_{10}^6 . C_6^6 + C_{10}^5 . C_5^4 + C_{10}^4 . C_4^2 + C_{10}^3 . C_3^0 = 2850$.
