Ta có
$\displaystyle \int \sqrt{1 + 3\ln x} \dfrac{\ln x}{x} dx = \displaystyle \int \sqrt{1 + 3\ln x} \ln x d(\ln x)$
$= \displaystyle \int u\sqrt{3u+1} du$
Đặt $t = \sqrt{3u + 1}$. Khi đó $u = \dfrac{t^2-1}{3}$ và
$du = \dfrac{2tdt}{3}$
và khi đó tích phân cần tính trở thành
$\displaystyle \int \dfrac{t^2-1}{3} . t . \dfrac{2tdt}{3} = \dfrac{2}{9} \displaystyle \int (t^4 - t^2)dt$
$= \dfrac{2}{9} \left( \dfrac{t^5}{5} - \dfrac{t^3}{3} \right) + c$
$= \dfrac{2}{9} \left( \dfrac{(3\ln x + 1)^2 \sqrt{3\ln x + 1}}{5} - \dfrac{(3\ln x + 1)\sqrt{3\ln x + 1}}{3} \right) + c$
