Giả sử phản chứng rằng hoặc a hoặc b ko chia hết cho 3.
Ta thấy vai trò của $a$ và $b$ là giống nhau, nên ta có thể giả sử $a$ chia hết cho 3 và b ko chia hết cho 3. Khi đó b chia 3 dư 1 hoặc dư 2.
Do $a$ chia hết cho 3 nên $a = 3m$ với $m$ là một số tự nhiên nào đó
TH1: $b$ chia 3 dư 1.
Vậy $b = 3n+1$ với $n$ là một số tự nhiên nào đó.
Khi đó, biểu thức trên trở thành
$a^2 - ab + b^2 = (3m)^2 - 3m.(3n+1) + (3n+1)^2 $
$= 9m^2 - 9mn - 3m + 9n^2 + 6n + 1$
$= 9m^2 - 9mn + 9n^2 + 6n - 3m + 1$
$= 3(3m^2 - 3mn + 3n^2 + 2n - m) + 1$
Vậy $a^2 - ab + b^2$ chia 3 dư 1, tức là ko chia hết cho 3. Do đó ko chia hết cho 9. Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
TH1: $b$ chia 3 dư 2.
Vậy $b = 3n+2$ với $n$ là một số tự nhiên nào đó.
Khi đó, biểu thức trên trở thành
$a^2 - ab + b^2 = (3m)^2 - 3m.(3n+2) + (3n+2)^2 $
$= 9m^2 - 9mn - 6m + 9n^2 + 12n + 4$
$= 9m^2 - 9mn + 9n^2 + 12n - 6m + 3+1$
$= 3(3m^2 - 3mn + 3n^2 + 4n - 2m+1) + 1$
Vậy $a^2 - ab + b^2$ chia 3 dư 1, tức là ko chia hết cho 3. Do đó ko chia hết cho 9. Điều này cũng mâu thuẫn với giả thiết.
Ở cả 2 trường hợp, điều giả sử đều mâu thuẫn vs giả thiết, do đó $b$ phải chia hết cho 3.
Vậy $a$ và $b$ đều chia hết cho 3.
