Đáp án:

$m \in \left\{ { - 1;1} \right\}$ thỏa mãn đề.

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

Đồ thị $(C)$ của hàm số $y=x^3-3mx^2-3x+3m+2$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2,x_3$

$ \Leftrightarrow {x^3} - 3m{x^2} - 3x + 3m + 2 = 0\left( 1 \right)$ có 3 nghiệm $x_1,x_2,x_3$ phân biệt.

Mà lại có:

$\begin{array}{l}
{x^3} - 3m{x^2} - 3x + 3m + 2 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 3x + 2} \right) - 3m\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right) - 3m\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 2 - 3m\left( {x + 1} \right)} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x\left( {1 - 3m} \right) - 2 - 3m} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 0\\
{x^2} + x\left( {1 - 3m} \right) - 2 - 3m = 0\left( 2 \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

Như vậy: Giả sử $x_3=1$

$\left( 1 \right)$ có 3 nghiệm $x_1,x_2,x_3$ phân biệt.

$ \Leftrightarrow \left( 2 \right)$ có 2 nghiệm $x_1;x_2$ phân biệt khác $1$ 

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta  > 0\\
{1^2} + 1.\left( {1 - 3m} \right) - 2 - 3m \ne 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {1 - 3m} \right)^2} - 4.1.\left( { - 2 - 3m} \right) > 0\\
 - 6m \ne 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9{m^2} + 6m + 9 > 0\left( {ld} \right)\\
m \ne 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow m \ne 0
\end{array}$

Khi đó:

Áp dụng ĐL Viet cho phương trình $(2)$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 3m - 1\\
{x_1}{x_2} =  - 3m - 2
\end{array} \right.$

Lại có:

$\begin{array}{l}
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 15\\
 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 1 = 15\\
 \Leftrightarrow {\left( {3m - 1} \right)^2} - 2\left( { - 3m - 2} \right) - 14 = 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m =  - 1\\
m = 1
\end{array} \right.\left( {tm} \right)
\end{array}$

Vậy $m \in \left\{ { - 1;1} \right\}$ thỏa mãn đề.