Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
Số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\,\,\left( * \right)\)
Áp dụng hệ thức Vi-et với phương trình \(\left( * \right).\)
Tìm \(m\) để phương trình \(\left( * \right)\) có ba nghiệm phân biệt.
Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C.\) Khi đó có 1 điểm là trung điểm của đoạn thẳng gồm 2 điểm còn lại. Giải chi tiết:Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = \left( {3m - 1} \right)x + 6m + 3\) và đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\) là:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {3m - 1} \right)x + 6m + 3 = {x^3} - 3{x^2} + 1\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 1 - \left( {3m - 1} \right)x - 6m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - \left( {3m - 1} \right)x - 6m - 2 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Gọi \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) là ba nghiệm phân biệt của phương trình \(\left( * \right).\)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} = 3\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = - \left( {3m - 1} \right)\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2}{x_3} = 6m + 2\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
Khi đó ta có tọa độ ba giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là: \(A\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\) \(B\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) và \(C\left( {{x_3};\,\,{y_3}} \right).\)
Giả sử \(B\) là điểm cách đều \(A,\,\,C\) \( \Rightarrow B\) là trung điểm của \(AC\) \( \Rightarrow {x_1} + {x_3} = 2{x_2}.\)
\( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 3{x_2} = 3 \Leftrightarrow {x_2} = 1\)
Thay \({x_2} = 1\) vào phương trình \(\left( * \right)\) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 1 - 3 - \left( {3m - 1} \right) - 6m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow - 4 - 3m + 1 - 6m = 0\\ \Leftrightarrow - 9m = 3\\ \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{3}\end{array}\)
Với \(m = - \dfrac{1}{3}\) ta được: \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2x = 0\) \( \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow m = - \dfrac{1}{3}\) thỏa mãn bài toán.
\( \Rightarrow m \in \left( { - 1;\,\,0} \right).\)
Chọn D.
