Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có
$\left( 3x^2 + \dfrac{1}{x} \right)^n = (3x^2 + x^{-1})^n$
$= \sum_{k=0}^n C_n^k .(3x^2)^k. x^{-1(n-k)}$
$= \sum_{k=0}^n C_n^k . 3^k . x^{2k-n+k}$
$ = \sum_{k=0}^n C_n^k . 3^k . x^{3k-n}$
Khi đó, tại hệ số của $x^3$ thì $k$ là
$3k-n = 3$
$<-> k = \dfrac{n+3}{3}$
Vậy hệ số của $x^3$ là
$3^{\frac{n+3}{3}} . C_n^{\frac{n+3}{3}} = 81 . C_n^5$
$<-> 3^{\frac{n+3}{3}} . C_n^{\frac{n+3}{3}} = 3^4. C_n^5$
Áp dụng công thức $C_n^k = C_n^{n-k}$ ta có
$3^{\frac{n+3}{3}} . C_n^{\frac{n+3}{3}} = 3^4. C_n^5$
$<> 3^{\frac{n+3}{3}} . C_n^{n-\frac{n+3}{3}} = 3^4. C_n^5$
$<-> 3^{\frac{n+3}{3}} . C_n^{\frac{2n-3}{3}} = 3^4. C_n^5$
Vậy ta có $\dfrac{n+3}{3} = 4$ và $\dfrac{n+3}{3} = 5$ hoặc $\dfrac{n+3}{3} = 4$ và $5 = n-\dfrac{n+3}{3}$.
TH1: $\dfrac{n+3}{3} = 4$ và $\dfrac{n+3}{3} = 5$
Điều này là vô lý nên trường hợp này ko có $n$ thỏa mãn
TH2: $\dfrac{n+3}{3} = 4$ và $5 = n-\dfrac{n+3}{3}$
Giải cả 2 ptrinh ta đều có $n = 9$.
Do đó $n = 9$.
