Biết phương trình \({9^x} - {2.12^x} - {16^x} = 0\) có một nghiệm dạng \(x = {\log _{\frac{a}{4}}}\left( {b + \sqrt c } \right)\), với \(a,b,c\) là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức \(a + 2b + 3c\) bằng A.\(9.\) B.\(2.\) C.\(8.\) D.\(11.\)
Đáp án đúng: D Phương pháp giải: - Chia cả hai vế của bất phương trình cho \({16^x} > 0\). - Đặt ẩn phụ \(t = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x}\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\). - Giải phương trình tìm \(t\), từ đó tìm \(x\).Giải chi tiết:Chia cả hai vế của bpt cho \({16^x} > 0\) ta được : \({\left( {\frac{9}{{16}}} \right)^x} - 2.{\left( {\frac{{12}}{{16}}} \right)^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2x}} - 2.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} - 1 = 0\) Dặt \(t = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} > 0\) ta được: \({t^2} - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + \sqrt 2 \,\,\left( {TM} \right)\\t = 1 - \sqrt 2 \,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\) Suy ra \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} = 1 + \sqrt 2 \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{3}{4}}}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\) \( \Rightarrow a = 3,\,\,b = 1,\,\,c = 2\). Vậy \(a + 2b + 3c = 3 + 2.1 + 3.2 = 11\). Chọn D.