Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:
Chia cả hai vế cho \({5^{1 - \sqrt {1 - 2x} }}\) ta có:
\({5^{2x + \sqrt {1 - 2x} }} - m{.5^{1 - \sqrt {1 - 2x} }} = {4.5^x} \Leftrightarrow {5^{2x - 1 + 2\sqrt {1 - 2x} }} - m = {4.5^{x - 1 + \sqrt {1 - 2x} }} \Leftrightarrow {5^{2x - 1 + 2\sqrt {1 - 2x} }} - {4.5^{x - 1 + \sqrt {1 - 2x} }} = m\)
\( \Leftrightarrow 5.{\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{2{{\left( {\sqrt {1 - 2x} - 1} \right)}^2}}} - 4.{\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{{{\left( {\sqrt {1 - 2x} - 1} \right)}^2}}} = m\)
Ta thấy: \({\left( {\sqrt {1 - 2x} - 1} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall x \ge \frac{1}{2} \Rightarrow 0 < {\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{{{\left( {\sqrt {1 - 2x} - 1} \right)}^2}}} \le 1,\,\,\forall x \ge \frac{1}{2}\,\,\left( {do\,0 < \frac{1}{{\sqrt 5 }} < 1\,} \right)\)
Đặt \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{{{\left( {\sqrt {1 - 2x} - 1} \right)}^2}}} = t,\,\,0 < t \le 1\)
Xét hàm số \(y = 5{t^2} - 4t,\,\,t \in \left( {0;1} \right]\): \(y' = 10t - 4\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{5}\)
Ta có: \(y(0) = 0,\,\,y\left( {\frac{2}{5}} \right) = - \frac{4}{5},\,\,y(1) = 1\) \( \Rightarrow \mathop {max}\limits_{\left( {0;1} \right]} y = 1,\,\,\mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right]} y = - \frac{4}{5}\)
Để phương trình đã cho có nghiệm thì \(m \in \left[ { - \frac{4}{5};1} \right] \Rightarrow a = - \frac{4}{5},\,b = 1 \Rightarrow b - a = \frac{9}{5}\).
Chọn: A
