Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  + \cos \alpha  = \dfrac{1}{2}\\{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\end{array} \right.\) để tìm \(\sin \alpha ,\,\,\cos \alpha \).
Từ đó thay \(\sin \alpha ,\,\,\cos \alpha \) vừa tìm được để tính giá trị của biểu thức \(P\).Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  + \cos \alpha  = \dfrac{1}{2}\\{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  + \cos \alpha  = \dfrac{1}{2}\\{\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} - 2\sin \alpha \cos \alpha  = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  + \cos \alpha  = \dfrac{1}{2}\\\sin \alpha \cos \alpha  =  - \dfrac{3}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  = \dfrac{1}{2} - \cos \alpha \\\sin \alpha \cos \alpha  =  - \dfrac{3}{8}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  = \dfrac{1}{2} - \cos \alpha \\\left( {\dfrac{1}{2} - \cos \alpha } \right)\cos \alpha  =  - \dfrac{3}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  = \dfrac{1}{2} - \cos \alpha \\\dfrac{1}{2}\cos \alpha  - {\cos ^2}\alpha  + \dfrac{3}{8} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \alpha  = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4};\,\,\cos \alpha  = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\\\cos \alpha  = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4};\,\,\sin \alpha  = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\end{array} \right.\end{array}\)
Thay \(\sin \alpha  = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4};\,\,\cos \alpha  = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\) vào biểu thức \(P = 3\sin \alpha  + 2\cos \alpha \) ta được:
\(P = 3 \cdot \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4} + 2 \cdot \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\)\( = \dfrac{{3 + 3\sqrt 7  + 2 - 2\sqrt 7 }}{4} = \dfrac{{5 + \sqrt 7 }}{4}\)
Thay \(\sin \alpha  = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4};\,\,\cos \alpha  = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\) vào biểu thức \(P = 3\sin \alpha  + 2\cos \alpha \) ta được:
\(P = 3 \cdot \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4} + 2 \cdot \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\)\( = \dfrac{{3 - 3\sqrt 7  + 2 + 2\sqrt 7 }}{4} = \dfrac{{5 - \sqrt 7 }}{4}\)
Chọn A.