Biết \( \int \limits_0^{ \dfrac{ \pi }{4}} { \dfrac{1}{{1 + \tan x}}dx = a \pi + b \ln 2} \) với \(a, \, \,b \) là các số hữu tỉ. Tính tỷ số \( \dfrac{a}{b} \).A.\(\dfrac{1}{2}\)B.\(\dfrac{1}{6}\)C.\(\dfrac{1}{4}\)D.\(\dfrac{1}{3}\)

duyenhoang2510

2 năm trước

Biết \( \int \limits_0^{ \dfrac{ \pi }{4}} { \dfrac{1}{{1 + \tan x}}dx = a \pi + b \ln 2} \) với \(a, \, \,b \) là các số hữu tỉ. Tính tỷ số \( \dfrac{a}{b} \).
A.\(\dfrac{1}{2}\)
B.\(\dfrac{1}{6}\)
C.\(\dfrac{1}{4}\)
D.\(\dfrac{1}{3}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 15 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

TRAN_THI_YEN

Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:Ta có \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{1 + \tan x}}dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x + c{\rm{os}}x}}dx} \).
Đặt \(\cos x = A\left( {\sin x + \cos x} \right) + B\left( {\cos x - \sin x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \cos x = \left( {A - B} \right)\sin x + \left( {A + B} \right)\cos x\)
Đồng nhất hệ số ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}A - B = 0\\A + B = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = \dfrac{1}{2}\\B = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\sin x + \cos x} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\cos x - \sin x} \right)\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {\sin x + \cos x} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\cos x - \sin x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}dx} \\I = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx + } \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x + \cos x}}dx} \\I = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {dx} + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)'}}{{\sin x + \cos x}}dx} \\I = \dfrac{1}{2}\left. x \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} + \dfrac{1}{2}\left. {\ln \left| {\sin x + \cos x} \right|} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}}\\I = \dfrac{1}{2}.\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{1}{2}\ln \sqrt 2 = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{1}{4}\ln 2\\ \Rightarrow a = \dfrac{1}{8},\,\,b = \dfrac{1}{4}\end{array}\)
Vậy \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{8}:\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({ \left( { \dfrac{1}{3}} \right)^x} \le { \left( { \dfrac{1}{3}} \right)^{ - x + 2}} \)
A.\(\left( { - \infty ;1} \right)\)
B.\(\left[ {1; + \infty } \right)\)
C.\(\left( { - \infty ;1} \right]\)
D.\(\left( {1; + \infty } \right)\)

Tìm số điểm cực đại của đồ thị hàm số sau \(y = 10{x^4} + 5{x^2} + 19 \)
A.\(2\)
B.\(1\)
C.\(3\)
D.\(0\)

Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm \(x = a, \, \,x = b \, \, \left( {a < b} \right) \), có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x \) \( \left( {a \le x \le b} \right) \)là \(S \left( x \right) \).
A.\(V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {\left| {S\left( x \right)} \right|dx.} \)
B.\(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx.} \)
C.\(V = \pi \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx.} \)
D.\(V = \pi \int\limits_a^b {{S^2}\left( x \right)dx.} \)

Từ xu thế phát triển của thế giới sau thời kỳ Chiến tranh lạnh, Đảng ta vận dụng như thế nào trong đường lối đối ngoại hiện nay?
A.Thực hiện chính sách hòa bình, hữu nghị, hợp tác.
B.Chỉ quan hệ ngoại giao với các nước xã hội chủ nghĩa.
C.Đẩy mạnh quan hệ ngoại giao với các nước ASEAN.
D.Chỉ mở rộng quan hệ ngoại giao với các nước tư bản.

Một trong những điểm tương đồng giữa các phong trào cách mạng 1930 - 1931; 1936 - 1939 và 1939 - 1945 ở Việt Nam là đều
A.đấu tranh chống kẻ thù dân tộc và đòi quyền lợi dân tộc.
B.đặt dưới sự chỉ đạo của tổ chức Quốc tế Cộng sản.
C.đặt dưới sự lãnh đạo của Đảng Cộng sản Việt Nam.
D.góp phần vào cuộc đấu tranh chống chủ nghĩa phát xít.

Ta chủ động mở chiến dịch Biên giới thu đông 1950 trong điều kiện, hoàn cảnh như thế nào?
A.Thực dân Pháp ngày càng mạnh, ra sức mở rộng vùng chiếm đóng, chủ động tấn công, tăng cường bình định, chuẩn bị tiến công lên Việt Bắc lần thứ hai.
B.Lực lượng của ta ngày càng trưởng thành, tình hình quốc tế có nhiều chuyển biến to lớn, nhất là sự thành công của cách mạng Trung Quốc.
C.Ta bắt đầu nhận được viện trợ của các nước XHCN anh em, vị thế của Việt Nam ngày càng được nâng cao trên trường quốc tế.
D.Lực lượng của ta ngày càng mạnh, của Pháp ngày càng yếu, trong khi đó đế quốc Mĩ ngày càng can thiệp trực tiếp vào cuộc chiến tranh.

Nguyên tắc đổi mới của Đảng đề ra trong Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VI (1986) là
A.đổi mới mục tiêu phát triển kinh tế – xã hội.
B.thực hiện công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước.
C.bỏ qua giai đoạn phát triển TBCN, tiến lên CNXH.
D.không thay đổi mục tiêu của CNXH, mà làm cho mục tiêu ấy thực hiện hiệu quả hơn.

Máy rađa quân sự phát và thu loại sóng nào?
A.sóng dài.
B.sóng trung.
C.sóng ngắn.
D.sóng cực ngắn.

Quyết định nào của Hội nghị Ianta (2/1945) có tác động tích cực đến cách mạng Việt Nam?
A.giải giáp quân đội Nhật ở Đông Dương.
B.Tiêu diệt tận gốc chủ nghĩa phát xít.
C.Phân chia phạm vi ảnh hưởng ở châu Á.
D.Thành lập tổ chức Liên hợp quốc.

Tiến hành thí nghiệm điều chế isoamyl axetat (dầu chuối) theo thứ tự các bước sau đây:
Bước 1: Cho 1 ml CH3CH(CH3)CH2CH2OH, 1 ml CH3COOH và vài giọt H2SO4 đặc vào ống nghiệm.
Bước 2: Lắc đều ống nghiệm, đun cách thủy (trong nồi nước nóng) khoảng 5-6 phút ở 65-700C.
Bước 3: Làm lạnh, sau đó rót 2 ml dung dịch NaCl bão hòa vào ống nghiệm.
Phát biểu nào sau đây đúng ?
A.H2SO4 đặc chỉ đóng vai trò xúc tác cho phản ứng tạo isoamyl axetat.
B.Thêm dung dịch NaCl bão hòa vào để tránh phân hủy sản phẩm.
C.Sau bước 2, trong ống nghiệm vẫn còn CH3CH(CH3)CH2CH2OH và CH3COOH.
D.Sau bước 3, trong ống nghiệm thu được hỗn hợp chất lỏng đồng nhất.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến