Biết tổng \(S = 2 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + ... + \dfrac{1}{{{3^n}}} + ... = \dfrac{a}{b}\) ( với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z};\,\,\dfrac{a}{b}\)là phân số tối giản). Tính tích \(a.b\) bằng: A.\(9\) B.\(60\) C.\(7\) D.\(10\)
Đáp án đúng: D Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({u_1}\), công bội \(q\) thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\) là: \(S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)Giải chi tiết:Ta có: \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + ... + \dfrac{1}{{{3^n}}}\) là tổng của 1 CSN lùi vô hạn với \({u_1} = \dfrac{1}{3};\,\,q = \dfrac{1}{3}\). \( \Rightarrow \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + ... + \dfrac{1}{{{3^n}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}}}{{1 - \dfrac{1}{3}}} = \dfrac{1}{2}\). Khi đó ta có: \(S = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 2\end{array} \right.\). Vậy \(a.b = 5.2 = 10\). Chọn D.