Giải thích các bước giải:
a\cdot Ta có $BE\perp AC, CF\perp AB\to\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$
$\to BCEF$ nội tiếp
b\cdot Ta có $BCEF$ nội tiếp
$\to \widehat{AFM}=\widehat{EFB}=180^o-\widehat{ECB}=180^o-\widehat{ACB}=\widehat{AMB}$
Mà $\widehat{MAF}=\widehat{MAB}$
$\to\Delta AMF\sim\Delta ABM(g\cdot g)$
$\to\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AF}{AM}$
$\to AM^2=AF\cdot AB$
Ta có $\widehat{AFH}=\widehat{ADH}=90^o,\widehat{FAH}=\widehat{BAD}$
$\to\Delta AFH\sim\Delta ADB(g\cdot g)$
$\to\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AH}{AB}$
$\to AF\cdot AB=AD\cdot AH$
$\to AM^2=AH\cdot AD$
c\cdot Kẻ $AK$ là đường kính của $(O)\to AC\perp CK\to \widehat{ACK}=\widehat{ADB}=90^o$
Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AKC}$
$\to\Delta ABD\sim\Delta AKC(g\cdot g)$
$\to\dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AD}{AC}$
$\to AB\cdot AC=AK\cdot AD=2R\cdot 1.5R=3R^2$
d.Ta có $AK$ là đường kính của $(O)\to CK\perp AC, KB\perp B$
$\to CK//BH, BK//CH$
$\to BKCH$ là hình bình hành
Gọi $BC\cap HK=I\to I$ là trung điểm $BC$
Lấy $J$ là trung điểm $AH$
$\to J$ là tâm đường tròn đường kính $AH, I$ là tâm đường tròn đường kính $BC$
Ta có:
$\widehat{JFH}=\widehat{JHF}=\widehat{AHF}=\widehat{AEF}=\widehat{ABC}=\widehat{FBI}=\widehat{IFB}$
$\to JF\perp FI$
Tương tự $JE\perp EI$
$\to JEIF$ nội tiếp
Mà $\widehat{EIC}=2\widehat{EBC}=\widehat{EBC}+\widehat{HBD}=\widehat{EFC}+\widehat{HFD}=\widehat{EFD}$
$\to IDFE$ nội tiếp
$\to J,E,I,D,F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $JI$
Gọi $G$ là tâm đường tròn $\to G$ là trung điểm $IJ$
$\to IG=\dfrac12IJ$
Mà $I,J$ là trung điểm $HK, HA\to IJ$ là đường trung bình $\Delta HAK$
$\to IJ=\dfrac12AK=R$
$\to IG=\dfrac12R$
$\to G\in (I,\dfrac12R)$ cố định
