`a,AH\botBC` $(gt)$ `⇒\hat{AHB}=\hat{AHC}`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHB` vuông tại `H` `(\hat{AHB}=90^o)` `,HD\botAB` $(gt)$ có: `AH^2=AD.AB`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHC` vuông tại `H` `(\hat{AHC}=90^o)` `,HE\botAC` $(gt)$ có: `AH^2=AE.AC`

`⇒AD.AB=AE.AC`

`b,` `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ `⇒\hat{BAC}=90^o` Hay `\hat{DAE}=90^o`

`HD\botAB` $(gt)$ `⇒\hat{HDA}=90^o`

`HE\botAC` $(gt)$ `⇒\hat{HEA}=90^o`

Xét tứ giác `ADHE` có:

`\hat{DAE}=90^o` `(cmt)`

`\hat{HDA}=90^o` `(cmt)`

`\hat{HEA}=90^o` `(cmt)`

`⇒ADHE` là hình chữ nhật

`⇒\hat{DHE}=90^o,AH=DE`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ `,AH\botBC` $(gt)$ có: `AH^2=BH.CH`

Mà `AH=DE` `(cmt)`

`⇒DE^2=BH.CH`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHB` vuông tại `H` `(\hat{AHB}=90^o)` `,HD\botAB` $(gt)$ có: `HD^2=DB.DA`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHC` vuông tại `H` `(\hat{AHC}=90^o)` `,HE\botAC` $(gt)$ có: `HE^2=EA.EC`

Áp dụng định lý Pytago trong `ΔDHE` vuông tại `H` `(\hat{DHE}=90^o)` có:

`DE^2=HD^2+HE^2`

Mà `HD^2=DB.DA` `(cmt)` `,HE^2=EA.EC` `(cmt)`

`⇒DE^2=DB.DA+EA.EC`

Mà `DE^2=BH.CH` `(cmt)`

`⇒BH.CH=DB.DA+EA.EC`

`c,` `AK\botDE` $(gt)$ `⇒\hat{AKD}=90^o`

Xét `ΔDKA` và `ΔDAE` có:

`\hat{AKD}=\hat{DAE}=90^o`

`\hat{ADE}`: góc chung

`⇒ΔDKA`$\backsim$`ΔDAE` `(g.g)`

`⇒{AK}/{AE}={AD}/{DE}` (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

`⇒DE.AK=AD.AE`

Mà `AI^2=AD.AE` $(gt)$

`⇒AI^2=DE.AK`