Giả sử với \(n\) là số tự nhiên và \({n^2}\) chia hết cho \(5\) thì \(n\) không chia hết cho \(5\) \(\Rightarrow n = 5m + k\) với \(k = 1; 2; 3\) hoặc \( 4\).
Khi đó: \({n^2} = {\left( {5m + k} \right)^2}\) \(= 25{m^2} + 2.5.m.k + {k^2}\) với \(k \in Z\)
Dễ thấy: \(25{m^2}\) chia hết \(5\) ;
\(2.5.m.k\) chia hết \(5\);
Mà với \(k= 1; 2; 3; 4\) thì \({k^2}\) không chia hết \(5\)
\(\Rightarrow 25{m^2} + 2.5.m.k + {k^2}\) không chia hết \(5\) \(\Rightarrow {n^2}\) không chia hết \(5\)
Vậy điều giả sử trên là sai.
Vậy với \(n\) là số tự nhiên và \({n^2}\) chia hết cho \(5\) thì \(n\) chia hết cho \(5\)
