Đáp án:
$a=3;b=12$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}
y = \dfrac{{ax + b}}{{x - 2}}\\
\Rightarrow y' = \dfrac{{a\left( {x - 2} \right) - \left( {ax + b} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2a - b}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}
\end{array}$
Do tồn tại giao điểm của $(C)$ với $Ox$ nên $a\ne 0$
Giao điểm của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{x - 2}}$ với trục $Ox$ là: $A\left( {\dfrac{{ - b}}{a};0} \right)$
Khi đó:
Tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ có phương trình là:
$\begin{array}{l}
y = \dfrac{{ - 2a - b}}{{{{\left( {\dfrac{{ - b}}{a} - 2} \right)}^2}}}\left( {x + \dfrac{b}{a}} \right)\\
= \dfrac{{ - \left( {2a + b} \right)}}{{\dfrac{{{{\left( {2a + b} \right)}^2}}}{{{a^2}}}}}\left( {x + \dfrac{b}{a}} \right)\\
= \dfrac{{ - {a^2}}}{{2a + b}}\left( {x + \dfrac{b}{a}} \right)\\
= - \dfrac{{{a^2}}}{{2a + b}}x - \dfrac{{ab}}{{2a + b}}
\end{array}$
Mà $y = - \dfrac{1}{2}x + 2$là phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ nên
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{{a^2}}}{{2a + b}} = \dfrac{1}{2}\\
\dfrac{{ab}}{{2a + b}} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{\dfrac{{ab}}{{2a + b}}}}{{\dfrac{{{a^2}}}{{2a + b}}}} = 4\\
ab = 2\left( {2a + b} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{b}{a} = 4\\
ab = 2\left( {2a + b} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 4a\\
4{a^2} = 2\left( {2a + 4a} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 4a\\
4{a^2} - 12a = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 4a\\
\left[ \begin{array}{l}
a = 0\left( l \right)\\
a = 3\left( c \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow a = 3;b = 12
\end{array}$
Vậy $a=3;b=12$
