Đáp án:
b) $m = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {33} }}{2}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
Phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 5m + 4 = 0\left( * \right)$
a) Để phương trình $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ' = {\left( { - \left( {m + 2} \right)} \right)^2} - 1.\left( {{m^2} + 5m + 4} \right) > 0\\
\Leftrightarrow - m > 0\\
\Leftrightarrow m < 0
\end{array}$
$\to $ Với mọi $m<0$ thì phương trình $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$
b) Khi phương trình $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ ta có:
Theo ĐL Viet: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 2} \right)\\
{x_1}{x_2} = {m^2} + 5m + 4
\end{array} \right.$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = 1\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1}{x_2} \ne 0\\
\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} + 5m + 4 \ne 0\\
\dfrac{{2\left( {m + 5} \right)}}{{{m^2} + 5m + 4}} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne \left\{ { - 1; - 4} \right\}\\
{m^2} + 3m - 6 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne \left\{ { - 1; - 4} \right\}\\
\left[ \begin{array}{l}
m = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {33} }}{2}\left( {l,do:m < 0} \right)\\
m = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {33} }}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {33} }}{2}
\end{array}$
Vậy $m = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {33} }}{2}$
