1) Xét $\triangle$DAB và $\triangle$DEB có:
$\widehat{DAB}$ = $\widehat{DEB}$ = $90^o$ ( vì $\triangle$ABC vuông taih A, DE $\bot$ BC)
$\widehat{DBA}$ = $\widehat{DBE}$ ( vì BD là phân giác $\widehat{ABC}$)
BD chung
$\Rightarrow$ $\triangle$DAB = $\triangle$DEB
$\Rightarrow$ BA =BE (2 cạnh tương ứng )
$\Rightarrow$ $\triangle$BAE cân tại B
2) Ta có $\triangle$DAB = $\triangle$DEB ( cmt)
$\Rightarrow$ DE = DA (1) (2 cạnh tương ứng)
Ta có $\triangle$DAF vuông tại F
$\Rightarrow$ DF > DA (2) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ DF > DE
3) $\triangle$BCF có CA và FE là 2 đường cao cắt nhau tại D
$\Rightarrow$ D là trực tâm của $\triangle$BCF
$\Rightarrow$ BH $\bot$ CF
$\triangle$BCF có BH vừa là đường cao vừa là đường phân giác
$\Rightarrow$ $\triangle$BCF cân tại B và BH cũng là đường trung tuyến
Xét $\triangle$CFK có:
CD là trung tuyến ( vì DF = DK nên D là trung điểm của FK)
CI = $\frac{2}{3}$ CD (vì CI=2DI nên$\frac{CI}{CD}$=$\frac{CI}{CI+DI}$=$\frac{2DI}{2DI+DI}$
=$\frac{2DI}{3DI}$ =$\frac{2}{3}$)
$\Rightarrow$ I là trọng tâm của $\triangle$CFK
$\Rightarrow$ KI đi qua trung điểm của CF
Mà H là trung điêm của KF (vì BH là đường trung tuyến $\triangle$BCF)
Vậy K, I, H thẳng hàng
