Lời giải:
a. Xét tam giác ACE có:
CD ⊥ AE tại D là trung điểm của AE
=> Tam giác ACE cân tại C (1)
Mà CD = AD = ED = $\frac{1}{2}$ AE
Suy ra ΔACE vuông tại C (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ΔACE vuông cân tại C
b. Xét ΔAHE có M là trung điểm của AH, N là trung điểm của HE
⇒ MN là đường trung bình thuộc cạnh AE
⇒ $\left\{ {\matrix{
{MN//AE//BC} \cr
{MN = {1 \over 2}AE = AD = BC} \cr
} } \right.$ (D là trung điểm của AE)
⇔ BMNC là hình bình hành
c. Theo câu b:
Vì MN//BC, BC ⊥ AB nên MN ⊥ AB
Xét tam giác ACB có AM ⊥ BN (AH ⊥ BN), MN ⊥ AB
⇒ M là trực tâm ΔANB
d. Theo câu b: BMNC là hình bình hành
⇒ $\widehat {MNC} = \widehat {MBC}$
Lại có: $\widehat {ANM} = \widehat {ABM}$ (đều phụ với góc $\widehat {BAN}$)
Suy ra: $\widehat {ANC} = \widehat {ANM} + \widehat {MNC} = \widehat {ABM} + \widehat {MBC} = \widehat {ABC} = {90^ \circ }$
