Giải thích các bước giải:
Kẻ \(BH \perp AC\)
Có: \(BD= BA\) nên \(\triangle{BAD}\) cân tại B.
Mà \(BH \perp AD\)
\(\Rightarrow\) BH là đường trung tuyến
\(\Rightarrow AH = \frac{AD}{2}\)
Xét \(\triangle{ABC}\) có BD là đường phân giác nên:
\(\frac{DA}{DC}= \frac{BA}{BC}= \frac{b}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{DA}{b}= \frac{DC}{a}= \frac{DA+DC}{b+a}= \frac{AC}{b+a}= \frac{b}{a+b}\)
\(\Rightarrow DA= \frac{b^2}{a+b}\)
\(\triangle{HAB}\) vuông tại H nên: \(AB^2= AH^2+ BH^2\)
\(\Rightarrow BH^2= AB^2- \frac{AD^2}{4}= b^2- \frac{AD^2}{4}\) (1)
\(\triangle{HBC}\) vuông tại H có:
\(BH^2= BC^2- HC^2= BC^2- (AC- AH)^2= a^2- (b- \frac{AD^2}{4})^2= a^2- b^2+ b.AD- \frac{AD^2}{4}\) (2)
Từ (1)(2) \(\Rightarrow b^2- \frac{AD^2}{4}= a^2- b^2+ b.AD- \frac{AD^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow b^2- a^2= b.AD- b^2\)
\(\Leftrightarrow (b-a)(b+a)= b. \frac{b^2}{a+b}- b^2\)
\(\Leftrightarrow (b-a)(b+a)= \frac{-ab^2}{a+b}\)
\(\Rightarrow \frac{a-b}{ab}= \frac{b}{(a+b)^2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b}- \frac{1}{a}= \frac{b}{(a+b)^2}\)
