Bổ sung đề bài: $\triangle ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$
Lời giải:
a) Ta có:
$\widehat{EBC} = \widehat{DAC}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)
$\widehat{DAC} = \widehat{KAC} = \widehat{KBC}$ (cùng chắn $\mathop{CK}\limits^{\displaystyle\frown}$)
$\Rightarrow \widehat{EBC} = \widehat{KBC}$
hay $\widehat{HBD} = \widehat{KBD}$
$\Rightarrow BD$ là phân giác $\widehat{HBK}$
Ta lại có: $BD\perp HK\quad (AK\perp BC)$
Do đó $\triangle BHK$ cân tại $B$
$\Rightarrow BD$ là trung trực của $HK$
hay $BC$ là trung trực của $HK$
b) Ta có:
$\widehat{ACM} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow \widehat{ADB} = \widehat{ACM} = 90^\circ$
Ta lại có:
$\widehat{ABD} = \widehat{ABC} = \widehat{AMC}$ (cùng chắn $\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$)
Xét $\triangle ABD$ và $\triangle AMC$ có:
$\begin{cases}\widehat{ABD} = \widehat{ACM}\\\widehat{ABD} = \widehat{AMC}\end{cases}\quad (cmt)$
Do đó $\triangle ABD\backsim \triangle AMC\ (g.g)$
Xét tứ giác $BCEF$ có:
$\widehat{BEC} = \widehat{BFC} = 90^\circ$
Do đó $BCEF$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{FBC} = \widehat{AEF}$
$\Rightarrow \widehat{ABD} = \widehat{AEQ}$
Ta lại có: $\triangle ABD\backsim \triangle AMC\ (cmt)$
$\Rightarrow \widehat{DAB} = \widehat{CAM}$ (hai góc tương ứng)
$\Rightarrow \widehat{DAB} = \widehat{QAE}$
Ta được:
$\widehat{AEQ} + \widehat{QAE} = \widehat{ABD} + \widehat{DAB} = 90^\circ$ ($\triangle ABD$ vuông tại $D$)
$\Rightarrow \triangle AEQ$ vuông tại $Q$
hay $OA\perp EF$ tại $Q$
c) Xét $\triangle QAE$ và $\triangle CAM$ có:
$\begin{cases}\widehat{A}:\ \text{góc chung}\\\widehat{Q} = \widehat{C} = 90^\circ\end{cases}$
Do đó $\triangle QAE\backsim \triangle CAM\ (c.c)$
$\Rightarrow \dfrac{AQ}{AC} = \dfrac{AE}{AM}$
$\Rightarrow AQ.AM = AE.AC\qquad (1)$
Xét $\triangle AEH$ và $\triangle ADC$ có:
$\begin{cases}\widehat{A}:\ \text{góc chung}\\\widehat{E} = \widehat{D} = 90^\circ\end{cases}$
Do đó $\triangle AEH\backsim \triangle ADC\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AE}{AD} = \dfrac{AH}{AC}$
$\Rightarrow AH.AD = AE.AC\qquad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow AQ.AM = AH.AD$
$\Rightarrow \dfrac{AQ}{AD} = \dfrac{AH}{AM}$
Xét $\triangle AQH$ và $\triangle ADM$ có:
$\begin{cases}\dfrac{AQ}{AD} = \dfrac{AH}{AM}\quad (cmt)\\\widehat{A}:\ \text{góc chung}\end{cases}$
Do đó $\triangle AQH\backsim \triangle ADM\ (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{AHQ} = \widehat{AMD}$
hay $\widehat{AHQ} = \widehat{QMD}$
Xét $\triangle QHDM$ có:
$\widehat{AHQ} = \widehat{QMD}\quad (cmt)$
Do đó $QHDM$ là tứ giác nội tiếp
