Đáp án:
\[S = \left[ {2; + \infty } \right)\]
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: \(x \ge 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left( {\sqrt {x + 3} - \sqrt {x - 1} } \right).\left( {1 + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} } \right) \ge 4\\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {x + 3} \right) - \left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {x + 3} + \sqrt {x - 1} }}.\left( {1 + \sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} } \right) \ge 4\\
\Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt {x + 3} + \sqrt {x - 1} }}\left( {1 + \sqrt {x + 3} .\sqrt {x - 1} } \right) \ge 4\\
\Leftrightarrow 1 + \sqrt {x + 3} .\sqrt {x - 1} \ge \sqrt {x + 3} + \sqrt {x - 1} \\
\Leftrightarrow \sqrt {x + 3} .\sqrt {x - 1} - \sqrt {x + 3} - \sqrt {x - 1} + 1 \ge 0\\
\Leftrightarrow \sqrt {x + 3} \left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right) - \left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3} - 1} \right) \ge 0\\
x \ge 1 \Rightarrow x + 3 \ge 4 \Rightarrow \sqrt {x + 3} - 1 \ge \sqrt 4 - 1 = 1 > 0\\
\Rightarrow \sqrt {x - 1} - 1 \ge 0\\
\Leftrightarrow \sqrt {x - 1} \ge 1\\
\Leftrightarrow x \ge 2\,\,\,\,\,\left( {t/m} \right)
\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left[ {2; + \infty } \right)\)
