\(A=x-x^2=-x^2+x=-\left(x^2-x\right)\)
\(A=-\left(x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right)\)
\(A=-\left[\left(x^2-\dfrac{1}{2}x\right)-\left(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{4}\right]\)
\(A=-\left[x.\left(x-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}.\left(x-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{4}\right]\)
\(A=-\left[\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\right]\)
Với mọi giá trị của \(x\in R\) ta có:
\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\ge-\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow-\left[\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\right]\le\dfrac{1}{4}\)
Hay \(A\le\dfrac{1}{4}\) với mọi giá trị của \(x\in R\).
Để \(A=\dfrac{1}{4}\) thì \(-\left[\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\right]=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x-\dfrac{1}{2}=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)
Vậy GTLN của biểu thức là \(\dfrac{1}{4}\) đạt được khi và chỉ khi \(x=\dfrac{1}{2}\).
Chúc bạn học tốt!!!
