Bài 3: Ta có: \[{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 3 = 0\]
Câu a: khi m = 2 ta có pt: \[\begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = - 1}\\
{x = 3}
\end{array}} \right.
\end{array}\]
Nhẩm nghiệm nhanh cho ta 2 nghiệm x = -1 và x = 3
Câu b: Ta có \[\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} + 3 \ge 3 > 0,\forall m\]
Vậy pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Định lí Vi-ét:\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 2\left( {m - 1} \right)}\\
{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - 3}
\end{array}} \right.\]
Ta có:\[\begin{array}{l}
\frac{{{x_1}}}{{x_2^2}} + \frac{{{x_2}}}{{x_1^2}} = m - 1\\
\Leftrightarrow \frac{{x_1^3 + x_2^3}}{{x_1^2x_2^2}} = m - 1\\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}} \right)}}{{x_1^2x_2^2}} = m - 1\\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]}}{{x_1^2x_2^2}} = m - 1\\
\Rightarrow \frac{{2\left( {m - 1} \right)\left[ {4{{\left( {m - 1} \right)}^2} - 3.\left( { - 3} \right)} \right]}}{{{{\left( { - 3} \right)}^2}}} = m - 1\\
\Leftrightarrow \frac{{2\left( {m - 1} \right)\left( {4{m^2} - 8m + 4 + 9} \right)}}{9} = m - 1\\
\Leftrightarrow \frac{{2\left( {m - 1} \right)\left( {4{m^2} - 8m + 13} \right)}}{9} = m - 1
\end{array}\]
Ta thấy m = 1 là nghiệm, xét m $\neq$ 1 ta chia 2 vế cho (m-1):
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 8{m^2} - 16m + 26 = 9\\
\Leftrightarrow 8{m^2} - 16m + 17 = 0(vonghiem)
\end{array}\]
Ta thấy pt vô nghiệm.
Vậy với m = 1 thì thỏa mãn bài toán
